Please Help!! Thank you please help quick

Using the Law of Cosines for both triangle(ABC) and triangle(ABM):

4²  =  3² + (2a)² - 2(3)(2a)cos(B)                             (2a)²  =  a² + 3² - 2(3)(a)cos(B)

16  =  9  + 4a² - 12a·cos(B)                                         4a²  =  a² + 9 - 6a·cos(B)

7 - 4a²  =  -12a·cos(B)                                                 3a² - 9  =  -6a·cos(B)

cos(B)  =  (4a² - 7) / (12a)                                                         cos(B)  =  (9 - 3a²) / (6a)

Combining:  (4a² - 7) / (12a)  =  (9 - 3a²) / (6a)

                       4a² - 7  =  18 - 6a²

                            10a²  =  25

                                 a  =  sqrt(2.5)

                              BC  =  2·sqrt(2.5)

Hectictar: Can the "Apollonius Theorem" be used to solve this triangle?

I might have used Geno's approach, too.....but  the theorem used by hectictar is certainly handy!!!!