Ich habe diese Frage als Hausaufgabe bekommen und weiss nicht wie ich sie angehen soll?
Um das Becken eines Schwimmbades zu füllen, hat man drei Wasserhähne zur Verfügung. Jeder Hahn ist verschieden stark. Und daher schneller oder weniger.
Wenn nur Hahn A und Hahn B offen sind dauert es 70 Minuten beziehungsweise 1 Sunde und 10 Minuten.
Wenn nur Hahn A und Hahn C offen sind dauert es 50 Minuten.
Wenn nur Hahn B und Hahn C offen sind dauert es 56 Minuten.
Wie lange dauert es bis das Becken voll ist wenn man alle Hähne aufdreht?
Wäre dankbar für die Lösung und den Lösungsweg
Mein Lösungsansatz sieht wie folgt aus:
In der Aufgabe werden die jeweiligen Zeiten gegeben bis das Schwimmbecken voll ist. Voll meint zu 100% gefüllt. Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
(a+b) · 70 = 100%
(a+c) · 50 = 100%
(b+c) · 56 = 100%
Die Klammern ausmultipliziert, die jeweils fehlende Variable -mit dem Faktor Null multipliziert- ergänzt und die 100% durch den Faktor 1 ersetzt, ergibt:
70a + 70b + 0c = 1
50a + 0b + 50c = 1
0a + 56b + 56c = 1
Das Gleichungssystem gilt es zu lösen. Im Anschluss muss man noch die vierte Bedingung aufstellen:
(a+b+c) · t = 1
Das Gleichungssystem habe ich im Internet mit Hilfe des Rechners zum Lösen linearer Gleichungssysteme vereinfachen und lösen gelassen. Den Rechner findest du hier: https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme.htm
Hier die Lösung des Internetrechners:
Die Gleichungen werden so umgeformt und untereinandergeschrieben, dass alle gleichen Variablen auf der linken Seite der Gleichung untereinander stehen und die konstanten Zahlen auf der rechten Seite.
70·a + 70·b = 1
50·a + 50·c = 1
56·b + 56·c = 1
Durch Division der 1. Gleichung durch 70 wird der Faktor vor a eliminiert:
1
a + b = ——
70
50·a + 50·c = 1
56·b + 56·c = 1
Mit der 1. Gleichung wird in allen anderen Gleichung der Summand mit a eliminiert. Zur 2. Gleichung wird das -50fache der 1. Gleichung addiert:
1
a + b = ——
70
2
- 50·b + 50·c = —
7
56·b + 56·c = 1
Durch Division der 2. Gleichung durch -50 wird der Faktor vor b eliminiert:
1
a + b = ——
70
1
b - c = - ———
175
56·b + 56·c = 1
Mit der 2. Gleichung wird in allen anderen Gleichung der Summand mit b eliminiert. Zur 1. Gleichung wird das -1fache der 2. Gleichung addiert:
1
a + c = ——
50
1
b - c = - ———
175
56·b + 56·c = 1
Zur 3. Gleichung wird das -56fache der 2. Gleichung addiert:
1
a + c = ——
50
1
b - c = - ———
175
33
112·c = ——
25
Durch Division der 3. Gleichung durch 112 wird der Faktor vor c eliminiert:
1
a + c = ——
50
1
b - c = - ———
175
33
c = ————
2800
Mit der 3. Gleichung wird in allen anderen Gleichung der Summand mit c eliminiert. Zur 1. Gleichung wird das -1fache der 3. Gleichung addiert:
23
a = ————
2800
1
b - c = - ———
175
33
c = ————
2800
Zur 2. Gleichung wird die 3. Gleichung addiert:
23
a = ————
2800
17
b = ————
2800
33
c = ————
2800
Soweit die Lösung des Internetrechners.
Nun geht es mit den ermittelten Werten für a, b und c in die vierte Bedingung:
(a+b+c) · t = 1 geteilt durch (a+b+c) ergibt
1
t = --------
(a+b+c)
2800
Es ergibt sich somit als Lösung für t = -----
73
Das sind ungefähr 38min und 21s.
Um das Becken eines Schwimmbades zu füllen, hat man drei Wasserhähne zur Verfügung. Jeder Hahn ist verschieden stark.
Wenn nur Hahn A und Hahn B offen sind dauert es 70 Minuten.
Wenn nur Hahn A und Hahn C offen sind dauert es 50 Minuten.
Wenn nur Hahn B und Hahn C offen sind dauert es 56 Minuten.
Wie lange dauert es bis das Becken voll ist, wenn man alle Hähne aufdreht?
Hallo Gast!
\(Q: Volumenstrom\\ V: Volumen\\ t: Zeit\\ V=Q\times t\)
\(V=(Q_A+Q_B) \times 70'\\ V=(Q_A+Q_C)\times 50'\\ V=(Q_B+Q_C) \times 56'\) ( ' steht für min, '' steht für min² )
\(substituieren:\\ Q_A=a\\ Q_B=b\\ Q_C=c\)
\(V=70' a+70'b\\ V=50'a+50'c\\ V=56'b+56'c\)
\(a=\frac{V-70'b}{70'}\\ a=\frac{V-50'c}{50'} \)
\(\frac{V-70'b}{70'}=\frac{V-50'c}{50'}\\ 50'V-3500''b=70'V-3500''c\\ b=\frac{50'V-70'V+3500''c}{3500''}\\ V=56'b+56'c\\ b=\frac{V-56'c}{56'}\)
\(\frac{50'V-70'V+3500''c}{3500''}=\frac{V-56'c}{56'}\\ 2800''V-3920''V+196000'c=3500''V-196000'c\\ 392000'c=4620''V\\ \color{blue} c=\frac{V}{84,\overline{84}\ '}=Q_c\)
\(b=\frac{V-56'c}{56'}\\ b=\frac{V-56'\cdot \frac{V}{84,\overline{84}'}}{56'}\\ b=\frac{84,\overline{84}'V-56'V}{84,\overline{84}'\cdot56'}\\ b=\frac{(84,\overline{84}'-56')V}{84,\overline{84}'\cdot56'}\)
\(\color{blue}b=\frac{V}{164,705882353'}=Q_b\)
\(a=\frac{V-50'c}{50'} \\ c=\frac{V}{84,\overline{84}\ '}\\ a=\frac{V-50'\cdot \frac{V}{84,\overline{84}\ '}}{50'} \\ a=\frac{84,\overline{84}\ 'V-50'V}{84,\overline{84}\ '\cdot \ 50'}=\frac{34,\overline{84}\ 'V}{4242,\overline{42}\ ''}\)
\(a=\frac{V}{121,73913'}=Q_a\)
\(\color{blue}V=(Q_a+Q_b+Q_c)\times t\\ t=\frac{V}{Q_a+Q_b+Q_c}=\frac{V}{V\times (\frac{1}{121,73913'}+\frac{1}{164,705882353'}+\frac{1}{84,\overline{84}\ '})}=38.3562'\)
\(t=38,3562 '=38\ min\ 21,37\ sec\)
Das Becken ist nach 38 Minuten und 21,37 Sekunden gefüllt, wenn alle drei Hähne geöffnet sind.
UFF!
Gruß
!
Mein Lösungsansatz sieht wie folgt aus:
In der Aufgabe werden die jeweiligen Zeiten gegeben bis das Schwimmbecken voll ist. Voll meint zu 100% gefüllt. Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
(a+b) · 70 = 100%
(a+c) · 50 = 100%
(b+c) · 56 = 100%
Die Klammern ausmultipliziert, die jeweils fehlende Variable -mit dem Faktor Null multipliziert- ergänzt und die 100% durch den Faktor 1 ersetzt, ergibt:
70a + 70b + 0c = 1
50a + 0b + 50c = 1
0a + 56b + 56c = 1
Das Gleichungssystem gilt es zu lösen. Im Anschluss muss man noch die vierte Bedingung aufstellen:
(a+b+c) · t = 1
Das Gleichungssystem habe ich im Internet mit Hilfe des Rechners zum Lösen linearer Gleichungssysteme vereinfachen und lösen gelassen. Den Rechner findest du hier: https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme.htm
Hier die Lösung des Internetrechners:
Die Gleichungen werden so umgeformt und untereinandergeschrieben, dass alle gleichen Variablen auf der linken Seite der Gleichung untereinander stehen und die konstanten Zahlen auf der rechten Seite.
70·a + 70·b = 1
50·a + 50·c = 1
56·b + 56·c = 1
Durch Division der 1. Gleichung durch 70 wird der Faktor vor a eliminiert:
1
a + b = ——
70
50·a + 50·c = 1
56·b + 56·c = 1
Mit der 1. Gleichung wird in allen anderen Gleichung der Summand mit a eliminiert. Zur 2. Gleichung wird das -50fache der 1. Gleichung addiert:
1
a + b = ——
70
2
- 50·b + 50·c = —
7
56·b + 56·c = 1
Durch Division der 2. Gleichung durch -50 wird der Faktor vor b eliminiert:
1
a + b = ——
70
1
b - c = - ———
175
56·b + 56·c = 1
Mit der 2. Gleichung wird in allen anderen Gleichung der Summand mit b eliminiert. Zur 1. Gleichung wird das -1fache der 2. Gleichung addiert:
1
a + c = ——
50
1
b - c = - ———
175
56·b + 56·c = 1
Zur 3. Gleichung wird das -56fache der 2. Gleichung addiert:
1
a + c = ——
50
1
b - c = - ———
175
33
112·c = ——
25
Durch Division der 3. Gleichung durch 112 wird der Faktor vor c eliminiert:
1
a + c = ——
50
1
b - c = - ———
175
33
c = ————
2800
Mit der 3. Gleichung wird in allen anderen Gleichung der Summand mit c eliminiert. Zur 1. Gleichung wird das -1fache der 3. Gleichung addiert:
23
a = ————
2800
1
b - c = - ———
175
33
c = ————
2800
Zur 2. Gleichung wird die 3. Gleichung addiert:
23
a = ————
2800
17
b = ————
2800
33
c = ————
2800
Soweit die Lösung des Internetrechners.
Nun geht es mit den ermittelten Werten für a, b und c in die vierte Bedingung:
(a+b+c) · t = 1 geteilt durch (a+b+c) ergibt
1
t = --------
(a+b+c)
2800
Es ergibt sich somit als Lösung für t = -----
73
Das sind ungefähr 38min und 21s.
Ich habe diese Frage als Hausaufgabe bekommen und weiss nicht wie ich sie angehen soll?
Um das Becken eines Schwimmbades zu füllen, hat man drei Wasserhähne zur Verfügung.
Jeder Hahn ist verschieden stark. Und daher schneller oder weniger.
Wenn nur Hahn A und Hahn B offen sind dauert es 70 Minuten beziehungsweise 1 Sunde und 10 Minuten.
Wenn nur Hahn A und Hahn C offen sind dauert es 50 Minuten.
Wenn nur Hahn B und Hahn C offen sind dauert es 56 Minuten.
Wie lange dauert es bis das Becken voll ist wenn man alle Hähne aufdreht?
\(\text{Hahn A: $~\dfrac{1}{A}$ in der Einheit $\left[ \dfrac{\text{Becken}} {\text{Min.}} \right] $ } \\ \text{Hahn B: $~\dfrac{1}{B}$ in der Einheit $\left[ \dfrac{\text{Becken}}{\text{Min.}} \right] $ } \\ \text{Hahn C: $~\dfrac{1}{C}$ in der Einheit $\left[ \dfrac{\text{Becken}}{\text{Min.}} \right] $ }\)
\(\small{ \begin{array}{|lrcll|} \hline (1) & \dfrac{1}{A} + \dfrac{1}{B} &=& \dfrac{1~\text{Becken}} {70~ \text{Min.}} \\ (2) & \dfrac{1}{A} + \dfrac{1}{C} &=& \dfrac{1~\text{Becken}} {50~ \text{Min.}} \\ (3) & \dfrac{1}{B} + \dfrac{1}{C} &=& \dfrac{1~\text{Becken}} {56~ \text{Min.}} \\ \hline (1)+(2)+(3): & \dfrac{1}{A} + \dfrac{1}{B} +\dfrac{1}{A} + \dfrac{1}{C} + \dfrac{1}{B} + \dfrac{1}{C} &=& \dfrac{1~\text{Becken}} {70~ \text{Min.}} +\dfrac{1~\text{Becken}} {50~ \text{Min.}}++\dfrac{1~\text{Becken}} {56~ \text{Min.}} \\\\ & 2\cdot \left( \dfrac{1}{A} + \dfrac{1}{B} + \dfrac{1}{C} \right) &=& \left( \dfrac{1} {70} +\dfrac{1} {50}+\dfrac{1} {56} \right) \dfrac{1~\text{Becken}} {\text{Min.}} \\\\ & 2\cdot \left( \dfrac{1}{A} + \dfrac{1}{B} + \dfrac{1}{C} \right) &=& 0.05214285714 \dfrac{1~\text{Becken}} {\text{Min.}} \\\\ & \dfrac{1}{A} + \dfrac{1}{B} + \dfrac{1}{C} &=& 0.02607142857 \dfrac{1~\text{Becken}} {\text{Min.}} \\\\ & \mathbf{\dfrac{1}{A} + \dfrac{1}{B} + \dfrac{1}{C}} & \mathbf{=} & \mathbf{ \dfrac{1~\text{Becken}} {38.3561643836~\text{Min.}} } \\ \hline \end{array} }\)
\(\text{Wenn man alle Hähne aufdreht werden, dauert es $38.3561643836~\text{Min.}\\$oder $ \mathbf{38~\text{Min.}~ 21.4~ \text{Sekunden}}$ }\)