CPhill

5 )

\($f(x)=x+1$\)

\($\overbrace{f(f(\cdots(f}^\text{2015 total \textit{f}s}(x))\cdots)=0$?\)

Note  that  if  we had    x +  1.......then...

f ( f ( -2) )   =  f ( -1)  =  0

And

f ( f ( f (-3) ) )  =  f (f (-2)  )  =  f (-1)   =  0

So....this implies that  x  =  -2015

(1/2)   l  3x  -  5   l    =  x  + 1

Multiply both sides by 2

l 3x  -  5 l  =   2x  + 2

We have two equations here

3x  -  5     =    2x  +  2                  and           3x  -  5  =   -[ 2x + 2]

subtract 2x from both sides                            simplify

add 5 to both sides                                       3x  - 5    =  -2x  -  2

x  = 7                                                           add 2x , 5  to both sides

                                                                             5x  =   3

                                                                        divide both sides by 5

                                                                               x  = 3/5

So......the solutions  are  x  = 7  and x  = 3/5

140, a,  45/28

Let r be the common ratio...so

140r  = a      ⇒  r  =  a /140

So..this implies that

a (a / 140)   =  45/28

a^2  =  (140*45) / 28

a^2   = 5 * 45

a^2  =  225   

a =  15

\( $\sqrt {14 + 8\sqrt {3}}$\)

In the form   √   [ a  + b√c ]      we  can  find a simplification  if

(b/2)^2  + ( √c ) ^2    =  a        

And  the simpification becomes  √ [   ( (b/2) + √c )^2  ]

(4)^2  + 3  =   19      isn't  true.....but notice that  we can  express this as

√ [ 2  ( 7  + 4√3)  ]   =  √2 * √ [ 7 + 4√3 ]

Then  considering the second radical....

(4/2)^2  + (√3)^2   =  2^2 + 3   =  7  is true

So  we can write

√2  * √ [   ( (4/2)  + √3 ) ^2 ]  =

√ 2  *  √ [ ( 2 + √3)^2 ]  =

√2 [ 2 + √3]  =

2√2  + √6  =

√8  +  √6

3)

Let   x  =  √[ 6 + √ [6 + √6 +.... ] ]     square both sides

x^2  =   6 +    √[ 6 + √ [6 + √6 +.... ] ] 

x^2  =  6  + x       rearrange as

x^2  - x  -  6  = 0       factor

(x - 3)  ( x + 2)  =  0

Setting  each factor to  0  and solving for x  gives that   x  = 3   or x  = -2

Reject the second

So.....x  =   3  =  the   value

1) 

 \( \[ f(x) = \dfrac {1}{1 - \dfrac {1}{1 - \dfrac {1}{1 - x}}}, \] \)

\($(f(f( - 2)))^{ - 2}$\)

f ( -2)  =  -2

And   f ( f(-2)) =  f (-2)   =  -2

So

( f ( f(-2) ))^-2  =  (-2)^-2  =    1  / (-2)²  =    1/4

Let $d$ and $q$ be the roots of the quadratic equation $x^2+7x-4=0$. Find the value of $2d^2+19d+5q-8$.

x^2  +  7x  -  4  =  0

The roots are

[-7 + √ [ 7^2  + 16 ] ] / 2  = [-7 + √ [ 65 ] ] / 2    =    d

And

[-7 - √ [ 7^2  + 16 ] ] / 2  =   [  - 7 - √65] / 2    =  q

So......

2d^2  +  19d +  5q  - 8      = 

(1/2) [ 49 -  14√ 65  + 65]  +  (19 / 2) [-7 + √ [ 65 ] ]  + (5/2)  [  - 7 - √65]  - 8  =

49/2  -  7√ 65  +  65/2   - 133/2 +  (19/2)√ 65  -  35/2  - (5/2)√ 65  - 8   =  

[ 49  + 65  -  133 - 35 -16] / 2   

[ 114   -  184  ] / 2

[-70] / 2  =

-35

BTW......the results are the same no matter which root we assign to d, q

The total number of   lattice ponts is given by

1  +  (4 * 5)  + 

4 *  [  floor √[ 5^2  - 1^2]  +  floor √ [5^2  - 2^2]  + floor √[5^2  - 3^2] + floor √[5^2 - 4^2]  ]  =

1  + 20  +

4 *  [  floor √24  +  floor  √21  +  floor √16  +  floor √9 ]  =

21  + 4 [  4 + 4 + 4  + 3 ]  =

21  +  4 [ 15]  =

81

\($x_1,x_2$\)

\($|a+2|>2$\)

\($\frac 1{x_1}+\frac 1{x_2}<1$\)

The sum of the roots =   -a  

And since  the  product of the roots  = b  >  0.....this implies that both roots have the same sign    

Let  x₁  , x₂   be the positive roots

So  -x₁, -x₂  are the negative roots

The  sum of the negative roots  results in

-x₁ +   -x₂  =   -a

- [ x₁  + x₂  ] =  -a      ⇒  x₁  +  x₂  = a

Therefore......a  in this  case   >  0  so

l a + 2  l  >  2    is satisfied

Now....if both positive roots   are   >  0   but  ≤ 2   ....then.....

1 /x₁  +  1/x₂   ≥ 1         but this violates the condition that  1/x₁  + 1/x2  <  1

Therefore   x₁, x₂   must  be  >  2

Therefore

x₁  + x₂  =  -a

- [ x₁  + x₂  ]   =  a

But.....since   x1, x2  >  2   then their sum  must be  > 4

So....this implies that 

[x₁ + x₂]  >  4 

 - [ x₁  + x₂ ]  <  -4     ⇒    a  <  - 4

So.....in the case of two positive roots  .......

l a  + 2 l  >  2     is true

So......

l a  + 2  l  >  2   is proved for both positive and negative roots

Nice, EP....!!!!