CPhill

When Edith runs  (24 - 5) miles   =19 miles, Foley has run (24 - 6)  = 18 miles

So.....Foley  runs at   (18/19)  of Edith pace

When she finishes Foley has run    (18/19) (24) =  432/19  km

So....he is    24  - 432 / 19  =  24/19 km  behind

\(\frac{1}{1 \times 4} + \frac{1}{4 \times 7} + \frac{1}{7 \times 10} \)

1/4  + 1/28 + 1/70                   

4 = 2^2

28   = 2^2 * 7

70  =  2 * 5 * 7                common  denominator  =  2^2 * 5 * 7  =  140

   35/ 140  +  5  /140  +  2 /140  =  

[35 + 5 + 2 ]  / 140  =

42 / 140  = 

3 / 10

 We have triangle  MNZ

Angle ZNM  + Angle ZMN + Angle NZM  =  180°

And we have triangle  PNM

Angle PNM + Angle PMN  + NPM  =   180°

So....the sum  of all the given angles =  360°

Not  sure about this  but notice      (NP =not possible)

 b^2  - a^2     b^2   a^2

   1                 1      0       (violates  our rules.... a,b must be positive)

   2                    NP

   3                 2      1

   4                 2      0      (violates our  rules)               

   5                 3      2

   6                   NP

   7                4       3

   8                3       1

   9                5       4

  10                 NP

  11               6       5

  12               4       2

  13               7       6

  14                NP

  15                8      7    

  16                5      3

  17                9      8

  18                NP

It appears that all odds (except 1) can  be made  

And it appears that  all  evens can  be made except  4 and  the ones of the form 2 + 4(n -1)   where n =  1,2,3,4....

You should check  for yourself  with a few values !!!

Note that  when n = 506     2 + 4 (506 - 1) =  2022

So.....the answer  should  be     2 values = (1,4) + 506 values =   508 integers cannot be made

Hope that helps....

                                        C

                            E                    D

                                      H 144

              A 66                                         B

Consider triangle    AHB     formed by BE and AD

Angle BAH = 66

Angle AHB  =144

But the sum of these > 180   which is  impossible

No solution

A + B + C  = 180

So

(p + 2q) + (6p -5q) + (14p + 8q)  =  180

21p + 5q  =  180

21p  = 180  - 5q

p =   [ 180  - 5q ]  /  21

Simplify as

x^2 - mx  + 14  = 0

Possible factorizations

(x - 2) (x -7)  = 0             m  =  -9

(x + 2) (x + 7)  = 0          m  =  9

(x  -14) (x -1)  =  0          m    =  -15

(x + 14) ( x + 1)  =  0      m  =  15

In the first function , x  cannot =  0

In the second function

5x + 6 -11 ≥  0

5x - 5 ≥  0

5x ≥ 5

x ≥ 1

So.......the most restrictive interval is the  second one

So the domain  is  [1, inf )

A

12sqrt 3          X

B                12                  C

Hypotenuse  = 12 * 2   = 24

Let AX =  x

Let CX =  24 -x 

Since BX is an angle  bisector

AX / AB =  CX / AB

x / (12sqrt 3)  = (24 - x)  /12

x /sqrt 3  =  24 - x

x =  (24 - x) sqrt 3

x = 24sqrt 3  -  sqrt (3)x

x + sqrt 3  = 24 sqrt 3

x ( 1 + sqrt 3) =  24 sqrt (3)

x =  [ 24sqrt (3) ] / [ 1 + sqrt 3]

x = [24 sqrt 3 ] [1 - sqrt 3] / [ 1 -3]

x = -12 [ 1 - sqrt 3]   =  12 [ sqrt (3) - 1]  = AX

[BXA  ]    = (1/2) (AB)(AX) sin (30°)  =   (1/2)(12sqrt (3))(12[sqrt (3) - 1]) (1/2)  =

36 [sqrt (3) ] [ sqrt (3)   - 1]  = 

36 ( 3 - sqrt 3 )   ≈ 45.65

Simplify as

x^2 + 12x - 4 =  0

Call the roots a,b

Product of  roots

ab  = -4

2ab  =  -8

Sum of  roots 

a + b  =  -12      square both sides

a^2 + 2ab + b^2 = 144

a^2 + b^2  -8   =144

a^2 + b^2   = 152