Probolobo

Dein beschriebener Lösungsweg ist jedenfalls erstmal korrekt.

Wenn du am Anfang -200 rechnen würdest, kämst du beim Zwischenergebnis

200*1,07^n -200 = 200

heraus. Das ist tatsächlich erstmal nicht zielführend. Du kannst natürlich trotzdem auf das richtige Ergebnis kommen, der Weg ist aber vermutlich für dich etwas unbefriedigend: Man würde zuerst wieder +200 rechnen & dann doch den oben beschriebenen Weg gehen.

Wir lösen quasi \((z^2)^p = 117649\) wobei z und p ganze Zahlen sind, z²>= p und p prim. Zunächst können wir folgendes tun:

\((z^2)^p = z^{2p} = (z^p)^2 = 117649 \)

Zieht man in der letzten Gleichheit die Wurzel, erhält man

z^p = 343.

Ab hier kann man durch Probieren finden, dass 7³ = 343 ist.

Mit z=7 und p=3 haben wir also unsere Lösung. Die Basis ist dabei auch wie gewünscht größer als der Exponent.

Es ist 49³ = 117649.

Das gleiche wie "ein Fünftel" - beispielsweise ist der fünfte Teil von 120 genau \(\frac{1}{5} \cdot 120 = 24\).

Freut mich, dass ich helfen konnte. Danke für dein Lob!

IV = InduktionsVoraussetzung

An der Stelle nutze ich, dass die Gültigkeit der Aussage für n vorausgesetzt wird.

c): Induktionsanfang n=0 (ist das bei euch eine natürliche Zahl? Mag ich persönlich nicht, aber manche Prof's wollen's halt so :D Mach evtl auch den Induktionsanfang für b) nochmal mit n=0.)

a₀ = 2+(0-1)*2⁰⁺¹ = 2-2=0 - passt!

Wir nehmen nun an, dass wir a_n schreiben können als 2+(n-1)*2ⁿ⁺¹ für eine Zahl n und folgern, dass das auch für n+1 geht. Dafür benutzen wir aber zunächst die Vorschrift im oberen roten Kasten:

\(a_{n+1} = (n+1)2^{n+1} + a_n = \ \ |IV \\ (n+1)2^{n+1} + 2+(n-1)2^{n+1} = \\ 2 + 2n \cdot 2^{n+1} = \\ 2 + n \cdot 2^{n+2} = \\ 2 + ([n+1]-1) \cdot 2^{[n+1]+1}\)

Im letzten Schritt zeig' ich nur nochmal, dass das genau die angegebene Vorschrift aus dem unteren roten Kasten ist, aber mit n+1 statt n. Damit sind wir fertig.

Bilder kannst du übrigens auch direkt hier rein posten, ohne den Umweg über einen Link. Hat auch den Vorteil, dass jeder gleich dein Bild sieht, ohne einem (eventuell dubiosen) Link folgen zu müssen.

Ich hoff das hilft, frag' gern nach wenn's noch probleme gibt!

\(2^n > n^3 \ \ \forall n\geq 10\):

Induktionsanfang mit n=10:

2¹⁰ = 1024 > 1000 = 10³  - passt!

Wir setzen's nun voraus für eine Zahl n und folgern's für n+1:

\(2^{n+1} = 2 \cdot 2^n = 2^n+2^n > n^3 + n^3\)

So weit kommen wir schonmal mit der Induktionsvoraussetzung. Wir wollen am Ende aber \(2^{n+1} > (n+1)^3 = n^3+3n^2+3n+1\).

Betrachten wir hier die rechte Seite, so können wir für n>10 einige Ungleichungen festhalten:

3n²+3n+1 < 3n²+3n+n < 3n²+3n²+n² = 7n² < n³ . (Mach' dir hier klar, warum diese Ungleichungen alle gelten. Frag' nach wenn's nicht klar ist.)

Wir sehen also gesamt:

\(2^{n+1} = 2 \cdot 2^n = 2^n+2^n > n^3 + n^3 > n^3 +3n^2+3n+1 = (n+1)^3\)

Das ist die gewünschte Ungleichung. Damit sind wir fertig.