Probolobo

(i)

Ein Häufungspunkt einer Folge ist ein Wert, zu dem es eine Teilfolge gibt, die gegen diesen Wert konvergiert.

Die a-Folge hat zwei Häufungspunkte. Einer der Häufungspunkte der a-Folge ist 1 - warum? Welcher Punkt muss dann der zweite Häufungspunkt sein?

In der b-Folge kannst du beim Bruch noch kürzen. Wie sieht der vereinfachte Term aus? Was kannst du nach dem Kürzen über die Häufungspunkte sagen?

(ii)

Der Grund dafür steckt schon in (i). Siehst du, was gemeint ist?

(iii)

Eine Teilfolge "sucht sich Folgenglieder der gegebenen Folge aus", besteht also stets aus Folgegliedern der gegebenen Folge. Außerdem verändert sie die Reihenfolge nicht, d.h. es kann nicht vorkommen, dass ein Folgenglied a, das in der Ursprungs-Folge vor dem Folgenglied b kommt, in der Teilfolge nach dem Folgenglied b kommt. Kannst du damit schon Vermutungen anstellen, welche der gegebenen Folgen wohl Teilfolgen der a-Folge sind?

Es gibt keine Lösungsformel für Gleichungen dritten Grades, du kannst sie aber beispielsweise mit dem Newton-Verfahren lösen.

Sie hat nur eine reelle Lösung, nämlich x=3.

Kannst du den ganzen Satz angeben, in dem das vorkommt?

Ich würd's mit einem Gleichungssystem angehen: 

Der gesuchte Punkt P hat einen Umkreis mit Radius r. Dann ist der Abstand von A zu P genau |AP|=r. Der Abstand zu B ist um den Radius von k2 länger, also genau um 3 länger & daher |BP|=3+r. Aus den selben Gründen ist |CP|=2+r.

Mit der Euklid-Formel für Abstände im zweidimensionalen Raum |AB|=\(\sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2}\) ergibt sich so folgendes Gleichungssystem:

\(\sqrt{p_1^2+p_2^2}=r \\ \sqrt{(p_1-5)^2+p_2^2} = r+3 \\ \sqrt{p_1^2+(p_2-4)^2}=r+2\)

Quadriert man beide Seiten, so erhält man ein Gleichungssystem, das immer noch nicht linear ist, aber zumindest ohne Wurzeln auskommt:

\(p_1^2+p_2^2 = r^2 \\ (p_1-5)^2+p_2^2=(r+3)^2 \\ r_1^2+(p_2-4)^2 = (r+2)^2\)

Dieses muss nun irgendwie gelöst werden. Um nicht alles vorweg zu nehmen überlass ich das mal dem Fragesteller. Ich hab's Maple mal machen lassen & hab Lösungen erhalten, die zeigen, dass asinus' Näherungslösung schon ganz gut passt:

P(0,86014 | 0,88345) und r=1,2331

Für die a) muss ich noch ein bisschen überlegen, evtl kommt da später was dazu. 

Für die b) geht aber ein bisschen was: Ist euch bekannt, dass der Grenzwert der Folge def. durch \(d_n=(1+\frac{1}{n})^n\) genau e ist? Dann würd' ich folgendes vorschlagen:

Mit ganz klassischen Potenzgesetzen siehst du, dass \(a_n=( (1+\frac{1}{n})^n)^2 \ \ \& \ \ b_n = ((1+\frac{1}{n})^n)^n\). Der Innere Teil konvergiert nun jeweils gegen e, daher ist der Grenzwert der ersten Folge e² und der Grenzwert der zweiten Folge der gleiche wie bei eⁿ, und dass der unendlich ist ist (hoffentlich?) klar.

Die letzte davon schaffst du bestimmt selbst, wenn du dir kurz überlegst, was du an dem Term \(\frac{(n+1)!}{n!}\) vereinfachen kannst. Wenn du nicht draufkommst frag' gern nochmal ;)

Habs an Melody weitergeleitet. War heut schonmal so bei einer anderen Frage, die Antworten sind eigentlich da - der Chef muss sie nur noch freischalten :D 

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