asinus

Guten Morgen Tommy!

Zunächst a) :

Welches Volumen hat der Rotationskörper,

der durch die Rotation der Funktionskurve von :      \(f∶\ \left[0\ \ast\frac{\pi}{2}\right]\)     

-> R,  f(x) = cos x, um die x-Achse entsteht?

Ein Tortenstückchen aus dem Rotationskörper:

Die Breite ist dφ.

Die Seitenflächen sind

\(A=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \! cos(x) \, dx \)   \(=\ _0^{\frac{\pi}{2}}\ | sin(x) | \) \(=\ sin(\frac{\pi}{2})-sin(0)=1-0=1\)

\(A=1\)

Das Volumen des Tortenstückchens ist

\(dV=\frac{1}{2}\times A\times dφ=\frac{1}{2}\times1\times dφ\\\color{blue} dV=\frac{1}{2}\times dφ\)

Das Volumen des Rotationskörpers ist

\(V=\int_{0}^{2\pi} \! dV \, =\int_{0}^{2\pi} \! \frac{1}{2} \, dφ\) \(=\ _0^{\frac{\pi}{2}}\ | \frac{1}{2}φ | =\frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{4}\)

\(\large V=\frac{\pi}{4}\) 

Entschuldigung! Ich habe die Fläche um die y-Achse gedreht.

Danke Omi67 für die Richtigstellung!

b) kommt etwas später.

Gruß       !

Danke Mr. Owl...

  !

Ein Gegenstand der Größe G=175mm wird mit einer Sammellinse abgebildet. Die Bildweite beträgt dabei b=60mm.
Das entstehende Bild soll größer als 8mm sein.

Wie weit muss man dazu beispielsweise vom Gegenstand entfernt sein?

Hallo Gast!

Schau bitte bei dem untenstehenden Link nach. Dort wird dein Thema sehr gut und ausführlich behandelt.

Sven kauft in neuen Shop Everknitter & Kitsch zwei neue Kleidungsstücke. Dabei kostete die Jacke 50 Euro mehr als die Jeans.  Die Jacke wurde dann im Schlussverkauf um 40% reduziert, die Jeans um 30%, sodass der Preisunterschied lediglich 10 Euro ausmachte.                                                        x = Preis der Jacke                                               y= Preis von Jeans

Guten Morgen janfragejan!

x - y = 50 €             Preisdifferenz vor der Reduzierung

0,6x - 0,7y = 10 €    Preisdifferenz nach der Reduzierung

Bei 40% Reduzierung kostet die Ware noch 60% also 0,6 mal den ursprünglichen Preis.

Bei 30% Reduzierung kostet die Ware noch 70% also 0,7 mal den ursprünglichen Preis.

Wir lösen mit dem Additionsverfahren.

            I     x  -      y =   50 €   * (- 0,6)

           II 0,6x - 0,7y =   10 €

           I -0,6x +0,6y = - 30 €

            ________________

     II + I           -0,1y = -20 €

       Die Jans        y  = 200 € vor der Reduzierung

                        0,7y  = 140 € nach der Reduzierung                 

                          x - y = 50 €

                   x - 200 € = 50 €

      Die Jacke         x = 250€ vor der Reduzierung

                          0,6x = 150 € nach der Reduzierung      

  !

Hallo Terax, Danke für dein Danke!

Es kommt hier selten!

  !

Ich wollte die Richmansche Mischungsformel von \(T_M\) nach \(C_2\) umstellen.

Ausgangsformel:

\(T_M = {C_1 T_1 + C_2 T_2 \over C_1 C_2}\)

Guten Morgen Terax!

Meine Lösung:

\(T_M = {C_1 T_1 + C_2 T_2 \over C_1 C_2}\)                                 \(multiplizieren\ mit\ C_1 C_2\)

\(T_M C_1 C_2=C_1 T_1 + C_2 T_2\)               \(C_2 T_2 \ subtrahieren\) 

\(T_M C_1 C_2-C_2 T_2=C_1 T_1 \)               \(C_2\ ausklammern \) 

\(C_2(T_M C_1- T_2)=C_1 T_1 \)                \(dividieren\ durch\ (T_M C_1- T_2)\)

\(C_2=\frac{C_1 T_1}{T_M C_1- T_2}\)  

Dein Fehler:

\(T_M = {C_1 T_1 + C_2 T_2 \over C_1 C_2}\)                                C₁C₂ multiplizieren

\(T_M C_1 + T_M C_2 \neq C_1 T_1 + C_2 T_2\)   falsch

\(T_M \times C_1 C_2 = C_1 T_1 + C_2 T_2 \)         richtig

  !

Vollständige Induktion

Beweis zu dieser Aufgabe

1² + 3² + ... + (2n – 1)² = n * (2n – 1) * (2n + 1) / 3

Guten Morgen Tommy!

Beweise, dass

\(\sum_{n=1}^{n}(2n-1)^2=1² + 3² + ... + (2n – 1)² = \frac{n * (2n – 1) * (2n + 1)}{3}\)

\(\sum_{n=1}^{1}(2n – 1)²=1² = \frac{n * (2n – 1) * (2n + 1)}{3}=\frac{1*1*3}{3}=1\)

\(\sum_{n=1}^{2}(2n – 1)²=1² + 3²= 1+9\\\ = \frac{n * (2n – 1) * (2n + 1)}{3}=\frac{2*3*5}{3}=10\)

\(\sum_{n=1}^{\color{blue}3}(2n – 1)²=1² + 3² + 5^2= 1+9+25= \frac{n * (2n – 1) * (2n + 1)}{3}\\=\frac{3*5*7}{3}=\large\color{blue}35\)

\(\sum_{n=1}^{\color{blue}n={2+1}}(2n – 1)²=1² + 3² + 5^2= 1+9+25\\ =\frac{[n+1] * (2[n+1] – 1) * (2[n+1] + 1)}{3}\\ =\frac{[2+1] * (2[2+1] – 1) * (2[2+1] + 1)}{3}\\ =\frac{3*5*7}{3}=\large\color{blue}35\)

\(\sum_{n=1}^{\color{blue}3}(2n – 1)²=\sum_{n=1}^{\color{blue}{n=2+1}}(2n – 1)²=\large\color{blue}35\)          \(\large q.\ e.\ d. \)

Schöne Adventstage wünscht euch

  !

Gegeben: quadratische Pyramide (a*a), Höhe der Pyramide h=10 cm, Seitenkante=Seite der Grundfläche (S=a)

Gesucht: Höhe einer Seitenfläche (h') und Länge einer Seite der Grundfläche (a).

Guten Morgen Gast!

Die Seitenflächen der Pyramide sind gleichseitige Dreiecke mit der Seitenlänge a.

Die Höhe des gleichseitigen Dreiecks ist

\(h'=\sqrt{a^2-(\frac{a}{2})^2}=\sqrt{ \frac{3}{4}a^2}\\\color{blue} h'=\frac{a}{2}\cdot \sqrt{3}\)

Im Längsschnitt durch die Seitenkanten liegt das rechtwinkliche Dreieck mit der Hypotenuse a und den Katheten h und halbe Diagonale \(\frac{d}{2}\).

\(a^2=h^2+(\frac{d}{2})^2\)

\(d=a\cdot \sqrt{2}\\ \frac{d}{2}=\frac{a}{\sqrt{2}}\)

\(a^2=h^2+\frac{a^2}{2}\\ a^2-\frac{a^2}{2}=h^2\\ \frac{a^2}{2}=h^2\\ a=\sqrt{2h^2}=\sqrt{2\cdot 100cm^2}\)

\(a=14,142cm\)

\(h'=\frac{a}{2}\cdot \sqrt{3}\\ \color{blue}h'=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{2h^2}\\ h'=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{6h^2}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{6\cdot 100cm^2}\)

\(h'=12,247cm\)

Die Länge der Seite einer Grundfläche ist a = 14,142cm.

Die Höhe der Seitenfläche ist h' = 12,247cm.

Bitte frage nach, wenn noch Fragen zum Verständnis offen sind.

Einen schönen Tag wünscht dir

  !

f(x)=x^5+3x^4+(8:3)x^3-x-1:3   Nullstellen errechnen

Hallo Gast!

\(x^5+3x^4+(8/3)x^3-x-1/3=0\)

Erste vermutete Nullstelle:   x₁= - 1

 \((x^5+3x^4+(8/3)x^3-x-1/3): (x+1)\)

                                                   \(=x^4+2x^3+(2/3)x^2-(2/3)x-1/3\)   

  \(\underline{x^5\ +\ x^4}\)                         

             \(2x^4+(8/3)x^3\) 

             \(\underline{2x^4+\ 2\ x^3}\)

                         \((2/3)x^3-x\)

                         \(\underline{(2/3)x^3+(2/3)x^2}\)

                                          \(-(2/3)x^2-x \)

                                          \(\underline{-(2/3)x^2-(2/3)x}\)

                                                                 \(-(1/3)x-1/3\)

                                                                 \(\underline{-(1/3)x-1/3}\)

                                                                                           \(0\)

\(x_1=-1\)

Die weiteren Nullstellen errechnen sich aus der Gleichung                                                                          

\(x^4+2x^3+(2/3)x^2-(2/3)x-1/3=0\)

2. vermutete Nullstelle:   x₂ = - 1

\((x^4+2x^3+(2/3)x^2-(2/3)x-1/3) : (x+1)\)

                                             \(=x^3+x^2-(1/3)x-1/3\)

 \(\underline{x^4+x^3}\)

          \(x^3\ +\ (2/3)x^2\)

          \(\underline{x^3\ +\ x^2}\)

                 \(-(1/3)x^2-(2/3)x\)

                 \(\underline{-(1/3)x^2-(1/3)x}\)

                                     \(-(1/3)x-1/3\)

                                     \(\underline{-(1/3)x-1/3}\)

                                                               0

\(x_2 = -1\) 

3. vermutete Nullstelle:   x₃ = - 1

\((x^3+x^2-(1/3)x-1/3):(x+1)\) \(=x^2-1/3\) 

 \(\underline{x^3+x^2}\)

            \(0\ -\ (1/3)x-1/3\)

                  \(\underline{-(1/3)x-1/3}\)

                                            0

\(x_3=-1\) 

Nullstellen 4 und 5

\(x^2-\frac{1}{3}=0\)

\(x=\pm\sqrt{\frac{1}{3}}\)

\(x_4=-\sqrt{\frac{1}{3}}=-0,5773502691896257\\ x_5=+\sqrt{\frac{1}{3}}=0,5773502691896257\)

Eine Nullstelle, errechnet mit

Hallo NichtDerEine!

danke für deine ausführliche Antwort.

  !