asinus

How many squares can you find in this picture ?

Hello Guest, I see 14 squares.

  !

Three runners Adam, Ben, and Charles all start at the same time for a 24 km race, and each of them runs at a constant speed. When Adam finishes the race, Ben is 8 km behind, and Charles is 12 km behind. When Ben finishes the race, how far behind is Charles, in km?

Drei Läufer, Adam, Ben und Charles, starten alle gleichzeitig für ein 24-km-Rennen, und jeder von ihnen läuft mit einer konstanten Geschwindigkeit. Als Adam das Rennen beendet hat, liegt Ben 8 km und Charles 12 km zurück. Wenn Ben das Rennen beendet, wie weit ist Charles zurück.

Hello Guest!

\(v=\frac{s}{t}\\ t=\frac{s}{v}\\ s=vt\)

\(\frac{24}{v_a}=\frac{16}{v_b}=\frac{12}{v_c}\)

\(\frac{v_b}{16}=\frac{v_c}{12}\\ v_c=\frac{3}{4}v_b\)

\(\frac{24km}{v_b}=\frac{24km-x}{v_c}\\ \frac{24km}{v_b}=\frac{24km-x}{\frac{3}{4}v_b}\\ 3\cdot 24km=4(24km-x)\\ 72km=96km-4x\\ 4x=(96-72)km\)

\(x=6km\)

Charles is 6km behind.

  !

was ist pi?

Hallo Gast!

Die Kreiszahl  \({\displaystyle \pi }\) (Pi), auch Ludolphsche Zahl, Ludolfsche Zahl oder Archimedes-Konstante, ist eine mathematische Konstante, die als Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser definiert ist. Dieses Verhältnis ist unabhängig von der Größe des Kreises. π ist eine transzendente und somit auch irrationale Zahl und kommt in zahlreichen Teilgebieten der Mathematik, auch außerhalb der Geometrie, vor. Die Dezimalbruchentwicklung der Kreiszahl beginnt mit π = 3,141 5926 … , wobei in praktischen Berechnungen mit π   oft nur drei signifikante Stellen verwendet werden: π ≈ 3 , 14.

  !

700 mal 700 = 490.000

Consider the point P(-1, 0) on the ellipse given by the equation 4x^2 + y^2 = 4. There are two points (a, b) and (a, c) on the ellipse whose distance (D) from P is a maximum. What is the value of a? 

Betrachten Sie den Punkt P (-1, 0) auf der Ellipse, die durch die Gleichung 4x ^ 2 + y ^ 2 = 4 gegeben ist. Es gibt zwei Punkte (a, b) und (a, c) auf der Ellipse, deren Distanz (D) von P ist maximal. Was ist der Wert von a?

Hello Guest!

Equation of the ellipse  Gleichung der Ellipse

\( 4x^2 + y^2 = 4\\ y=\sqrt{4-4x^2}\\ \color{blue}y=2 \sqrt{1-x^2}\)

Distance D to the ellipse                              Distanz D zur Ellipse                                  

Here the size a = x, the size b = y.               Hier ist die Größe a = x, die Größe b = y.

\(\color{blue}y=2\sqrt{1-x^2}\\ y^2=4(1-x^2)\)

\(D=\sqrt{y^2+x^2}\\D=\sqrt{4(1-x^2)+(x+1)^2}\\ D=\sqrt{4-4x^2+x^2+2x+1}\\ \color{blue}D=f(x)=\sqrt{-3x^2+2x+1}\)               Pythagoras

\({\large \frac{dD}{dx}}=D'=\frac{1}{2}(-3x^2+2x+5)^{-\frac{1}{2}}\cdot (-6x+2)=0\\ D'=\Large \frac{-3x+1}{\sqrt{-3x^2+2x+5}}=0\)   

                       \(\large -3x+1=0\)

\(\Large x=a=\frac{1}{3}\)    

 \(\)\(The\ value\ of\ a\ is\ \large\frac{1}{3}.\)

  !

2+2-16+46 = 34

If x^2 + 1/x^2 = 171, what is the positive value of x - 1/x?

Hello Guest!

\(x^2+\frac{1}{x^2}=171\\ \frac{x^4+1}{x^2}=171\\x^4+1=171x^2\)

\(\color{blue}x^2=a\\ a^2+1=171a\\ a^2-171a+1=0\)

\(a=\frac{171}{2}\pm\sqrt{(\frac{171}{2})^2-1}\)

\(a_1=170.99415\\ x_{1,1}=13,0764732\\ x_{1,2}=-13,0764732\\ a_2=0.0058481532\\ x_{2,1}=0.0764732\\ x_{2,2}=-0,0764732\)

\(x_{1,1}-\frac{1}{x_{1,1}}=13,0764732-\frac{1}{13,0764732}\color{blue} =13\\ x_{1,2}-\frac{1}{x_{1,2}}=-13,0764732-\frac{1}{-13,0764732}=-13\\ x_{2,1}-\frac{1}{x_{2,1}}=0.0764732-\frac{1}{0.0764732}=-13\\ x_{2,2}-\frac{1}{x_{2,2}}=-0.0764732-\frac{1}{-0.0764732}\color{blue}=13\\ \)

The positive value of x - 1/x is 13.

  !
 

was ist x mal 4,6 + y mal 6,8 =5,40

Hallo Gast!

\(4,6x+6,8y=5,40\) ist eine lineare Gleichung mit zwei Unbekannten.

Man kann sie in eine Funktionsgleichung f(x) umwandeln.

\(4,6x+6,8y=5,40\\ \text{wird y = 0 gesetzt gilt:}\\ y=f(x)=\frac{-4,6x+5,4}{6,8}=-\frac{2,3}{3,4}x+\frac{2,7}{3,4}=0\)

\(x_0=\frac{2,7\cdot 3,4}{3,4\cdot 2,3}=\frac{27}{23}=1,1739...\\ y_0=\frac{5,4}{6,8}=0,7941...\)

\(\text{Der Graph der Funktionsgleichung geht}\\ \text{bei}\ x=1,739...\ \text{durch die x - Achse }\\ \text{und bei}\ y=0,7941...\text{durch die y - Achse.}\)

\(m_{f(x)}=-\frac{4,6}{6,8}=-0,67647...\)

Die Gerade des Graphen sinkt um  \(m= -\frac{4,6}{6,8}=-\frac{0,67647...}{1}\)

  !

Ein Vater und sein Sohn sind zusammen 62 Jahre alt. Vor sechs Jahren war der Vater viermal so alt wie der Sohn, wie alt sind sie?

Hallo Freunde!

Der Vater sei v, der Sohn s Jahre alt.

Dann ist zur Zeit

\(v+s=62\).                       | - s

und

\(v=62-s\)

Vor 6 Jahren war der Vater viermal so alt wie sein Sohn.

\((v-6)=4\cdot (s-6)\)       | \(v=62-s\)  einsetzen.

\(62-s-6=4\cdot (s-6)\) | ausrechnen

\(56-s=4s-24\)             |\(+s+24\)

\(80=5s\\5s=80\)                              | \(: 5\)

\(s=16\)

\(v=62-s\)

\(v=46\)

\(\text{Der Vater ist zur Zeit 46, der Sohn 16 Jahre alt.}\)

Habt ihr die Lösung der Aufgabe verstanden?

Wenn nicht, bitte nachfragen.

  !

Wie viel sind zwei Drittel von 709?

\(472\frac{2}{3}\)