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Leonardo hält Strauße und Schafe. Insgesamt 80 Stück. Zusammen haben alle Tiere 220 Beine. Wie viele Strauße hat er?

Schafe = y

Strauße = x

\(\begin{array}{rcl} x + y &=& 80 \\ y &=& 80 - x\\ \\ \hline \\ 2x+4y &=& 220 \qquad | \qquad y = 80 - x\\\ 2x+4(80-x) &=& 220 \qquad | \qquad :2\\ x+2(80-x) &=& 110\\ x+160 -2x &=& 110 \\ 160 -x &=& 110 \\ -160 +x &=& -110 \qquad | \qquad +160\\ x &=&160 -110 \\ x&=& 50 \end{array} \)

Er hat 50 Strauße.

\(y = 80 - x \qquad | \qquad x = 50\\ y = 80-50\\ y=30\)

Er hat 30 Schafe.

b)THEOREM:the interval joining the midpoints of two sides of a triangle is parallel to the base and half its length

Prove this theorem for any triangle by placing its vertices at A(2a,0),B(2b,2c) and C(0,0) , where a>0, and proceeding as in part (a)

\(\vec{P}=\frac{ \vec{A}+\vec{B}}{2} =\frac{ \begin{pmatrix}2a\\0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}2b\\2c\end{pmatrix} } {2} =\frac{ \begin{pmatrix}2a+2b\\2c\end{pmatrix} }{2} =\begin{pmatrix}a+b\\c\end{pmatrix} \\\\ \vec{Q}=\frac{ \vec{B}+\vec{C}}{2} =\frac{ \begin{pmatrix}2b\\2c\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} } {2} =\frac{ \begin{pmatrix}2b\\2c\end{pmatrix} }{2} =\begin{pmatrix}b\\c\end{pmatrix}\)

\(\small{ \overline{PQ}=|\vec{P}-\vec{Q}|\\ =\sqrt{ ( \vec{P}-\vec{Q} )\cdot ( \vec{P}-\vec{Q} ) }\\ =\sqrt{ \left[ \begin{pmatrix}a+b\\c\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}b\\c\end{pmatrix} \right] \cdot \left[\begin{pmatrix}a+b\\c\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}b\\c\end{pmatrix} \right] }\\ =\sqrt{ \begin{pmatrix}a\\0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}a\\0\end{pmatrix} }\\ =\sqrt{ a^2 }\\ \overline{PQ}=a\\ \overline{AC}=|\vec{A}-\vec{C}|\\ = |\begin{pmatrix}2a\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}|\\ = |\begin{pmatrix}2a\\0\end{pmatrix}|\\ \overline{AC}=2a }\)

\((\vec{P}-\vec{Q} )\cdot ( \vec{A}-\vec{C} ) = \overline{PQ}\cdot \overline{AC} \cdot \cos{(\alpha)}\\ \cos{(\alpha)} = \frac{ (\vec{P}-\vec{Q} )\cdot ( \vec{A}-\vec{C} ) } {\overline{PQ}\cdot \overline{AC} }\\ \cos{(\alpha)}= \frac{ \left[ \begin{pmatrix}a+b\\c\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}b\\c\end{pmatrix} \right]\cdot \left[ \begin{pmatrix}2a\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} \right] } { a\cdot 2a }\\ \cos{(\alpha)}= \frac{ \begin{pmatrix}a\\0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}2a\\0\end{pmatrix} } {2a^2}\\ \cos{(\alpha)}= \frac{ 2a^2 }{2a^2}\\ \cos{(\alpha)}= 1 \qquad \Rightarrow \qquad \alpha = 0\qquad \Rightarrow \qquad PQ||AC\)

a)A triangle has vertices at A(1,-3),B(3,3) and C(-3,1)

i) Find coordinates of the midpoint (labeled P) of AB and the midpoint (labeled Q) of BC

\(\vec{P}=\frac{ \vec{A}+\vec{B}}{2} =\frac{ \begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix} } {2} =\frac{ \begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix} }{2} =\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}\\\\ \vec{Q}=\frac{ \vec{B}+\vec{C}}{2} =\frac{ \begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}-3\\13\end{pmatrix} } {2} =\frac{ \begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix} }{2} =\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}\)

ii) show that PQ=½AC

\(\small{ \overline{PQ}=|\vec{P}-\vec{Q}|\\ =\sqrt{ ( \vec{P}-\vec{Q} )\cdot ( \vec{P}-\vec{Q} ) }\\ =\sqrt{ \left[ \begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix} \right] \cdot \left[\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix} \right] }\\ =\sqrt{ \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix} }\\ =\sqrt{ 4+4 }\\ \overline{PQ}=\sqrt{ 8 }\\ \overline{AC}=|\vec{A}-\vec{C}|\\ =\sqrt{ (\vec{A}-\vec{C})\cdot (\vec{A}-\vec{C}) }\\ =\sqrt{ \left[ \begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}-3\\1\end{pmatrix} \right] \cdot \left[\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}-3\\1\end{pmatrix} \right] }\\ =\sqrt{ \begin{pmatrix}4\\-4\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\\-4\end{pmatrix} }\\ =\sqrt{ 4\cdot8 }\\ \overline{AC}=2\cdot \sqrt{ 8 }\\ } \)

\(\dfrac{ \overline{PQ} }{\overline{AC} } = \dfrac{ \sqrt{ 8 } }{ 2\cdot \sqrt{ 8 } } = \dfrac{ 1 }{ 2 }\\ \overline{PQ} = \dfrac{ 1 }{ 2 }\cdot \overline{AC}\)

iii) show that PQ||AC

\((\vec{P}-\vec{Q} )\cdot ( \vec{A}-\vec{C} ) = \overline{PQ}\cdot \overline{AC} \cdot \cos{(\alpha)}\\ \cos{(\alpha)} = \frac{ (\vec{P}-\vec{Q} )\cdot ( \vec{A}-\vec{C} ) } {\overline{PQ}\cdot \overline{AC} }\\ \cos{(\alpha)}= \frac{ \left[ \begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix} \right]\cdot \left[ \begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-3\\1\end{pmatrix} \right] } { \sqrt{ 8 }\cdot 2\cdot \sqrt{ 8 } }\\ \cos{(\alpha)}= \frac{ \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}4\\-4\end{pmatrix} } {16}\\ \cos{(\alpha)}= \frac{ 16 }{16}\\ \cos{(\alpha)}= 1 \qquad \Rightarrow \qquad \alpha = 0\qquad \Rightarrow \qquad PQ||AC \)

Eine Strassenecke soll ausgerundet werden. Errechnet werden soll R in Metern. Vorgegeben ist die Sehnenlänge von 6,6m.

Wenn die Straßenecke einen rechten Winkel hat, dann beträgt der Radius des Verbindungskreises (Kreisviertel), wenn s ist die Sehnenlänge:

\(\begin{array}{rcl} R^2+R^2 &=& s^2\\ 2R^2 &=& s^2 \qquad | \qquad \sqrt{}\\ \sqrt{2} R &=& s\\ R &=& \dfrac{s}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\ R &=& \dfrac{\sqrt{2}}{2} ~s\\ R &=& \dfrac{\sqrt{2}}{2} ~6,6 \\ R &=& 0,70710678119\cdot 6,6 \\ R &=& 4,66690475583 \\ R &\approx& 4,7 \text{m} \\ \end{array}\)

Der Radius beträgt 4,7 m.

4. \(\int{\sin^2{(x)}\ dx} = \ ?\)

Umwandlung eines Produktes in eine Differenz:

\(\boxed{~ 2~\sin{(A)}~ \sin{(B)} = \cos{(A-B)} - \cos{(A+B)} ~}\)

     \(2~\sin{(x)}~ \sin{(x)} = \cos{(0)} - \cos{(2x)}\\ 2~\sin^2{(x)} = \cos{(0)} - \cos{(2x)}\\ 2~\sin^2{(x)} = 1 - \cos{(2x)}\\ \sin^2{(x)} = \frac{1}{2} - \frac{ \cos{(2x)} } {2}\\ \)

\(\begin{array}{lcl} \int{\sin^2{(x)}\ dx} &=& \int { \left( \frac{1}{2} - \frac{ \cos{(2x)} } {2} \right) \ dx}\\ &=& \int { \frac{1}{2} \ dx} - \int { \frac{ \cos{(2x)} } {2} \ dx}\\ &=& \frac{1}{2} \int {\ dx} - \frac{1}{2} \int { \cos{(2x)} \ dx}\\ &=& \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \frac{ \sin{(2x)} } {2} \qquad | \qquad \sin{(2x)} = 2~\sin{(x)}~\cos{(x)}\\ &=& \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \frac{ 2~\sin{(x)}~\cos{(x)} } {2} \\ &=& \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} ~\sin{(x)}~\cos{(x)} \\ &=& \frac{1}{2} [ x - \sin{(x)}~\cos{(x)} ] \\ \mathbf{ \int{\sin^2{(x)}\ dx} } & \mathbf{=} & \mathbf{ \frac{1}{2} [ x - \sin{(x)}~\cos{(x)} ] }\\ \end{array}\)

Herr Meyer hatte sich verpflichtet, ein Darlehen in vier Raten zu tilgen. Vereinbarungsgemäß zahlte er zum ersten Termin den vierten Teil seiner Schuld und noch 50 Euro. Beim zweiten Termin tilgte er von der Restschuld den fünften Teil und noch 60 Euro. Beim dritten Termin bezahlte Herr Meyer von der nun verbliebenen Restschuld die Hälfte und noch 50 Euro. Mit dem vierten Termin konnte er durch den Restbetrag von 200 Euro seine Schulden vollständig begleichen. Berechne das ursprüngliche Darlehen von Herrn Meyer. Bemerkung: Bei der Tilgung dieses Darlehens fielen keinerlei zusätzliche Kosten an. 

\(\begin{array}{lcl} D = \text{Darlehen}\\ \hline \text{Tilgung 1} = t_1 \\ t_1 &=& D\cdot 25\%+50\\ t_1 &=& \frac{D}{4}+50\\ \hline \text{Restschuld 1} = D_1 \\ D_1 &=& D-t_1\\ D_1 &=& D-(\frac{D}{4}+50)\\ D_1 &=& D-\frac{D}{4}-50\\ D_1 &=& 0,75D-50\\ \hline \hline \text{Tilgung 2} = t_2 \\ t_2 &=& D_1\cdot 20\%+60\\ t_2 &=& \frac{D_1}{5}+60\\ t_2 &=& \frac{0,75D-50}{5}+60\\ t_2 &=& 0,15D-10+60\\ t_2 &=& 0,15D+50\\ \hline \text{Restschuld 2} = D_2 \\ D_2 &=& D_1-t_2\\ D_2 &=& 0,75D-50-(0,15D+50)\\ D_2 &=& 0,75D-50-0,15D-50\\ D_2 &=& 0,60D-100\\ \hline \hline \text{Tilgung 3} = t_3 \\ t_3 &=& D_2\cdot 50\%+50\\ t_3 &=& \frac{D_2}{2}+50\\ t_3 &=& \frac{0,60D-100}{2}+50\\ t_3 &=& 0,30D-50+50\\ t_3 &=& 0,30D\\ \hline \text{Restschuld 3} = D_3 \\ D_3 &=& D_2-t_3\\ D_3 &=& 0,60D-100-(0,30D)\\ D_3 &=& 0,60D-100-0,30D\\ D_3 &=& 0,30D-100\\ \hline \hline \text{Tilgung 4} = t_4 \\ t_4 &=& D_3 = 200\\ 200 &=& 0,30D-100\\ 0,30D-100 &=& 200\\ 0,30D &=& 300\\ D &=&\frac{300}{ 0,30D }\\ \mathbf{D} &\mathbf{=}& \mathbf{1000} \end{array}\)

Das ursprüngliche Darlehen von Herrn Meyer beträgt 1000 €

Vereinfachen Sie die folgenden Terme mit nachvollziehbaren Umformungen

a)

\(\begin{array}{rcl} \left( \dfrac{4a^2}{9b^2} \right)^{\frac{1}{2} } \\ &=&\sqrt{ \dfrac{4a^2}{9b^2} }\\ &=&\sqrt{ \dfrac{2^2a^2}{3^2b^2} }\\ &=&\dfrac{2a}{3b}\\\\ \left( \dfrac{4a^2}{9b^2} \right)^{\frac{1}{2} }&=&\dfrac{2a}{3b} \end{array}\)

b)

\(\begin{array}{rcl} \dfrac{ 49z^2-1 }{ 7z-1 } \\ &=&\dfrac{ 7^2z^2-1 }{ 7z-1 } \\\\ &=&\dfrac{ (7z)^2-1 }{ 7z-1 } \qquad | \qquad \text{3. Binom} \quad [(7z)^2-1] = (7z-1)(7z+1)\\\\ &=&\dfrac{ (7z-1)(7z+1)}{ (7z-1) } \\\\ &=& 7z+1\\\\ \dfrac{ 49z^2-1 }{ 7z-1 }&=& 7z+1\\ \end{array}\)

c)

\(\begin{array}{rcl} \sqrt[4]{625 a^3\sqrt[3]{4^6\sqrt{a^4}}}\\ &=& \sqrt[4]{625 a^3\sqrt[3]{4^6a^{ \frac{4}{2} }}}\\ &=& \sqrt[4]{625 a^3\sqrt[3]{4^6a^2}}\\ &=& \sqrt[4]{625 a^3 \cdot 4^{ \frac{6}{3} }a^{ \frac{2}{3} }}\\ &=& \sqrt[4]{625 a^3 \cdot 4^2a^{ \frac{2}{3} }} \qquad | \qquad 4^2 = (2^2)^2 = 2^4\\ &=& \sqrt[4]{625 a^3 \cdot 2^4a^{ \frac{2}{3} }} \qquad | \qquad 625 = 5^4\\ &=& \sqrt[4]{ 5^4 a^3 \cdot 2^4a^{ \frac{2}{3} } } \\ &=& \sqrt[4]{ 5^4 \cdot 2^4 a^3 a^{ \frac{2}{3} } } \\ &=& \sqrt[4]{ 5^4 \cdot 2^4 a^{ 3+\frac{2}{3} } } \\ &=& \sqrt[4]{ 5^4 \cdot 2^4 a^{ \frac{11}{3} } } \\ &=& 5^\frac{4}{4} \cdot 2^\frac{4}{4} a^{ \frac{11}{3\cdot4} } \\ &=& 5 \cdot 2 a^{ \frac{11}{12} } \\ &=& 10 a^{ \frac{11}{12} } \\ \mathbf{\sqrt[4]{625 a^3\sqrt[3]{4^6\sqrt{a^4}}} }& \mathbf{=} & \mathbf{ 10 a^{ \frac{11}{12} } }\\ \mathbf{\sqrt[4]{625 a^3\sqrt[3]{4^6\sqrt{a^4}}} }& \mathbf{=} & \mathbf{ 10 \sqrt[12] { a^{11} } }\\ \end{array}\)

The pressure in Denver, Colorado (elevation 5280 ft), averages about 24.9 in mmHg.

c) Convert this pressure to Pa.

\(\boxed{~ 1\ \text{mmHg} = 133.322\ \text{Pa} ~}\)

\(24.9\ \text{mmHg} = 24.9\cdot 133.322\ \text{Pa}\\ \mathbf{24.9\ \text{mmHg} = 3319.7178\ \text{Pa} }\\\)

b) Convert this pressure to psi.

\(\boxed{~ 1\ \text{pascal} = 0.00014503773801\ \text{pound force/square inch [psi]} ~}\)

\(24.9\ \text{mmHg} = 24.9\cdot 133.322\cdot 0.00014503773801\ \text{pound force/square inch [psi]}\\ \mathbf{24.9\ \text{mmHg} = 0.481484360543533578\ \text{pound force/square inch [psi]} }\\\)

a) Convert this pressure to atm.

\(\boxed{~ 1\ \text{pascal} = 0.0000098692326671601283\ \text{atm} ~}\)

\(24.9\ \text{mmHg} = 24.9\cdot 133.322\cdot 0.0000098692326671601283\ \text{atm}\\ \mathbf{24.9\ \text{mmHg} = 0.03276306735751295336779374\ \text{atm} }\\\)

Folgende Angabe . √10x-√40x BRUCHSTRICH √10x Wie mache ich die √10x weg , also weg vom Nenner kürzen geht ja nicht aufgrund der Differenz

\(\begin{array}{rcl} \dfrac{ \sqrt{10x} - \sqrt{40x} } {\sqrt{10x} } \\ &=&\dfrac{ \sqrt{10x} } {\sqrt{10x} } - \dfrac{ \sqrt{40x} } {\sqrt{10x} } \\\\ &=& 1 - \dfrac{ \sqrt{40x} } {\sqrt{10x} } \\\\ &=& 1 - \sqrt{ \dfrac{ 40x } { 10x } } \\\\ &=& 1 - \sqrt{ 4 } \\\\ &=& 1 - 2 \\\\ &=& -1 \\ \mathbf{\dfrac{ \sqrt{10x} - \sqrt{40x} } {\sqrt{10x} }} &\mathbf{=}& \mathbf{-1} \\\\ \end{array}\)

0.350 A = 350 mA