heureka

[cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)][cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)]=?

\(\begin{array}{rcll} && [~ \cos(a) \cos(b)+ \sin(a) \sin(b) ~] \cdot [~ \cos(a)\cos(b)- \sin(a) \sin(b) ~] \\ &=& \cos^2(a) \cos^2(b) - \cos(a) \cos(b)\sin(a) \sin(b)+ \sin(a) \sin(b)\cos(a)\cos(b) -\sin^2(a) \sin^2(b) \\ &=& \cos^2(a) \cos^2(b) + 0 -\sin^2(a) \sin^2(b) \\ &=& \cos^2(a) \cos^2(b) -\sin^2(a) \sin^2(b) \\ &=&[~ 1-\sin^2(a) ~] \cos^2(b) -\sin^2(a) [~ 1-\cos^2(b) ~] \\ &=& \cos^2(b) -\sin^2(a) \cos^2(b) -\sin^2(a) +\sin^2(a)\cos^2(b) \\ &=& \cos^2(b) -\sin^2(a) -\sin^2(a) \cos^2(b) +\sin^2(a)\cos^2(b) \\ &=& \cos^2(b) -\sin^2(a) +0 \\ &\mathbf{=}&\mathbf{ \cos^2(b) -\sin^2(a) }\\ \end{array}\)

x=1/(3*e^x)

solve for x (or give an interval that satisfies the equation)

We use the product log function, also called Lambert W-Function:

If the function is \(x\cdot e^x = z\), then \(x = W(z)\)

\(\begin{array}{rcll} x &=& \dfrac{1} {3\cdot e^x} \qquad & | \qquad \cdot e^x \\ x\cdot e^x &=& \frac13\\ \mathbf{ x } & \mathbf{=} & \mathbf{ W(\frac13) } \end{array}\)

\(x = 0.257627653049736704282916201626097790909692647503204491533\dots\)

Hallo, ich verstehe das Determinantenverfahren eigentlich sehr gut und hatte bis jetzt keine Probleme...aber nun verstehe ich nicht wie das mit Durch gehen soll. Bisher hatte ichs immer nur mit Mal zu tun :).

x/3+y=7/8

x/6+y/5=1/4

1. Die Aufgabe:

\(\begin{array}{rcll} \frac13 \cdot x + 1 \cdot y &=& \frac78 \\ \frac16 \cdot x + \frac15 \cdot y &=& \frac14 \\ \end{array}\)

2. Die Nennerdeterminante D

\(\begin{array}{rcll} D &=& \begin{vmatrix} \frac13 & 1 \\ \frac16 & \frac15 \end{vmatrix} \\ &=& \frac13 \cdot \frac15 - \frac16 \cdot 1 \\ &=& \frac{1}{15} - \frac16 \\ &=& \frac{6-15}{15\cdot 6} \\ &=& \frac{-9}{90} \\ \mathbf{ D } & \mathbf{=} & \mathbf{ -\frac{1}{10} } \end{array}\)

3. x?

\(\begin{array}{rcll} x = \frac{D_x}{D} &=& \frac{ \begin{vmatrix} \frac78 & 1 \\ \frac14 & \frac15 \end{vmatrix} } {D}\\ &=& \frac{ \frac78 \cdot \frac15 - \frac14 \cdot 1 } { -\frac{1}{10} }\\ &=& \frac{ \frac{7}{40} - \frac14 } { -\frac{1}{10} }\\ &=& -10\cdot ( \frac{7}{40} - \frac14 ) \\ &=& -\frac{7}{4} + \frac{10}{4} \\ \mathbf{ x } & \mathbf{=} & \mathbf{ \frac{3}{4} } \\ \mathbf{ x } & \mathbf{=} & \mathbf{ 0,75 } \end{array}\)

4. y?

\(\begin{array}{rcll} y = \frac{D_y}{D} &=& \frac{ \begin{vmatrix} \frac13 & \frac78 \\ \frac16 & \frac14 \end{vmatrix} } {D}\\ &=& \frac{ \frac13 \cdot \frac14 - \frac16 \cdot \frac78 } { -\frac{1}{10} }\\ &=& \frac{ \frac{1}{12} - \frac{7}{48} } { -\frac{1}{10} }\\ &=& \frac{ \frac{1}{12}\frac44 - \frac{7}{48} } { -\frac{1}{10} }\\ &=& \frac{ \frac{4}{48} - \frac{7}{48} } { -\frac{1}{10} }\\ &=& \frac{ -\frac{3}{48} } { -\frac{1}{10} }\\ &=& \frac{ \frac{3}{48} } { \frac{1}{10} }\\ &=& 10\cdot \frac{3}{48} \\ &=& \frac{30}{48} \\ \mathbf{ y } & \mathbf{=} & \mathbf{ \frac{5}{8} } \\ \mathbf{ y } & \mathbf{=} & \mathbf{ 0,625 } \end{array}\)

Using the binomial theorem how would you simplify (sqrt(x) +5)^3?..........sqrt= squareroot

\(\begin{array}{lcl} (\sqrt{x} +5)^3 &=& \binom30 \cdot (\sqrt{x})^3 \cdot 5^0\\ && + \binom31 \cdot (\sqrt{x})^2 \cdot 5^1 \\ && + \binom32 \cdot (\sqrt{x})^1 \cdot 5^2 \\ && + \binom33 \cdot (\sqrt{x})^0 \cdot 5^3 \\\\ &=& \binom30 \cdot (\sqrt{x})^3 \cdot 1 \\ && + \binom31 \cdot (\sqrt{x})^2 \cdot 5^1 \\ && + \binom32 \cdot (\sqrt{x})^1 \cdot 5^2 \\ && + \binom33 \cdot 1 \cdot 5^3 \\\\ &=& \binom30 \cdot (\sqrt{x})^3 \\ && + \binom31 \cdot (\sqrt{x})^2\cdot 5^1 \\ && + \binom32 \cdot (\sqrt{x})^1\cdot 5^2 \\ && + \binom33 \cdot 5^3 \\\\ &=& \binom30 \cdot x^{ \frac{3}{2} } \\ && + \binom31 \cdot x^{ \frac{2}{2} } \cdot 5^1 \\ && + \binom32 \cdot x^{ \frac{1}{2} } \cdot 5^2 \\ && + \binom33 \cdot 5^3 \\\\ &=& \binom30 \cdot x^{ \frac{3}{2} } + \binom31 \cdot x \cdot 5^1 + \binom32 \cdot x^{ \frac{1}{2} } \cdot 5^2 + \binom33 \cdot 5^3 \end{array} \)

\(\begin{array}{lcl} \binom30 = \binom33 = 1 \\ \binom31 = \binom32 = 3 \end{array}\)

\(\begin{array}{lcl} (\sqrt{x} +5)^3 &=& 1 \cdot x^{ \frac{3}{2} } + 3 \cdot x \cdot 5^1 + 3 \cdot x^{ \frac{1}{2} } \cdot 5^2 + 1 \cdot 5^3 \\\\ &=& x^{ \frac{3}{2} } + 15 \cdot x + 75 \cdot x^{ \frac{1}{2} } + 125 \\\\ \mathbf{(\sqrt{x} +5)^3} & \mathbf{=}& \mathbf{ x^{1.5} + 15 \cdot x + 75 \cdot x^{0.5} + 125 } \end{array}\)

\(\text{Because we have isosceles triangle: } \\ \begin{array}{rcll} \text{Let } \overline{CE} = \overline{CD} = y \\ \text{Let } \overline{AB } = \overline{AC } = x \\ \overline{BC } = \overline{BE } = 8 \\\\ \overline{BD } = 2 \\ \overline{DE } = \overline{BE } - \overline{BD } = 8-2 = 6 \end{array}\)

\(\text{Let } \angle ABC = \angle ACB = \angle DEC = \angle CDE = \alpha \)

\(\text{Because we have a isosceles triangle: } \\ \begin{array}{rcll} \cos(\angle BCA) &=& \frac{ \frac{ \overline{BC} }{2} } { \overline{AC} }\\ \cos( \alpha) &=& \frac{ \frac{ 8 }{2} } { x }\\ \cos(\alpha) &=& \frac{ 4 } { x }\\ \mathbf{x} & \mathbf{=} & \mathbf{ \frac{4}{\cos(\alpha) } } \qquad | \qquad x = \overline{AB}\\ \end{array}\)

\(\begin{array}{lrcll} &&& \text{Because we have a isosceles triangle(BEC): } \\ (1) & \overline{CE}^2 &=& \overline{BE}^2 + \overline{BC}^2 - 2\cdot \overline{BE} \cdot \overline{BC} \cdot \cos(\angle EBC ) \\ & y^2 &=& 8^2 + 8^2 - 2\cdot 8 \cdot 8 \cdot \cos(180^{\circ}-2\alpha) \\ & y^2 &=& 128 - 128 \cdot \cos(180^{\circ}-2\alpha) \\ & y^2 &=& 128 + 128 \cdot \cos( 2\alpha) \\\\ &&& \text{In triangle(BDC): } \\ (2) & \overline{CD}^2 &=& \overline{BD}^2 + \overline{BC}^2 - 2\cdot \overline{BD} \cdot \overline{BC} \cdot \cos(\angle EBC ) \\ & y^2 &=& 2^2 + 8^2 - 2\cdot 2 \cdot 8 \cdot \cos(180^{\circ}-2\alpha) \\ & y^2 &=& 68 - 32 \cdot \cos(180^{\circ}-2\alpha) \\ & y^2 &=& 68 + 32 \cdot \cos( 2\alpha) \\\\ (1) = (2): & 128 + 128 \cdot \cos( 2\alpha) &=& 68 + 32 \cdot \cos( 2\alpha) \\ & ( 128-32) \cdot \cos( 2\alpha) &=& 68 -128 \\ & 96 \cdot \cos( 2\alpha) &=& -60 \\ & \cos( 2\alpha) &=& -\frac{60}{96} \\ & \cos( 2\alpha) &=& -\frac{5}{8} \qquad | \qquad \arccos() \\ & 2\alpha &=& \arccos(-\frac{5}{8}) \\ & 2\alpha &=& \arccos(-0.625) \\ & 2\alpha &=& 128.682187453^{\circ} \\ & \alpha &=& 64.3410937267^{\circ} \\ \end{array}\)

\(\begin{array}{lrcll} \mathbf{x} & \mathbf{=} & \mathbf{ \frac{4}{\cos(\alpha) } } \qquad | \qquad x = \overline{AB}\\\\ x &=& \frac{4}{\cos(64.3410937267^{\circ}) } \\\\ \mathbf{ x } & \mathbf{=} & \mathbf{ 9.23760430703 } \end{array}\)

\(\overline{AB} = 9.23760430703 \)

Ein  10-Euro-Schein  hat die Maße  a = 127 mm  und  b = 67 mm.
Faltet man zwei gegenüber liegende Ecken aufeinander, so bekommt der Schein einen Knick.
Wie lang ist dieser Knick ?

x = Länge des Knicks

Die Formel läßt sich noch weiter vereinfachen:

\( \begin{array}{rcll} x &=& \dfrac{ \sqrt{2} } {2\cdot a} \cdot \sqrt { ( a^2+b^2 )\cdot (~ a^2+b^2 - \sqrt{ (a^2+b^2)^2-4\cdot a^2b^2 } ~) } \\\\ &=& \dfrac{ \sqrt{2} } {2\cdot a} \cdot \sqrt { ( a^2+b^2 )\cdot (~ a^2+b^2 - \sqrt{ a^4+b^4+2a^2b^2 -4\cdot a^2b^2 } ~) } \\ &=& \dfrac{ \sqrt{2} } {2\cdot a} \cdot \sqrt { ( a^2+b^2 )\cdot (~ a^2+b^2 - \sqrt{ a^4+b^4-2\cdot a^2b^2 } ~) } \\ &=& \dfrac{ \sqrt{2} } {2\cdot a} \cdot \sqrt { ( a^2+b^2 )\cdot (~ a^2+b^2 - \sqrt{ (a^2-b^2)^2 } ~) } \\ &=& \dfrac{ \sqrt{2} } {2\cdot a} \cdot \sqrt { ( a^2+b^2 )\cdot ( a^2+b^2 - (a^2-b^2) ) } \\ &=& \dfrac{ \sqrt{2} } {2\cdot a} \cdot \sqrt { ( a^2+b^2 )\cdot ( a^2+b^2 - a^2 + b^2) ) } \\ &=& \dfrac{ \sqrt{2} } {2\cdot a} \cdot \sqrt { ( a^2+b^2 )\cdot ( b^2 +b^2) } \\ &=& \dfrac{ \sqrt{2} } {2\cdot a} \cdot \sqrt { ( a^2+b^2 )\cdot ( 2b^2 ) } \\ &=& \dfrac{ \sqrt{2}\cdot \sqrt{2} \cdot b } {2\cdot a} \cdot \sqrt { a^2+b^2 } \\\\ \mathbf{x} &\mathbf{=}& \mathbf{\dfrac{ b } { a} \cdot \sqrt { a^2+b^2 } }\\\\ a &=& 127\ mm\\ b &=& 67\ mm \\ \\ x &=& \dfrac{ b } { a} \cdot \sqrt { a^2+b^2 } \\\\ x &=& \dfrac{ 67 } { 127} \cdot \sqrt { 127^2+67^2 } \\\\ x &=& \dfrac{ 67 } { 127 } \cdot 143,589693223 \\\\ \mathbf{x} & \mathbf{=} & \mathbf{75,7520428817\ mm } \end{array}\)

Ein  10-Euro-Schein  hat die Maße  a = 127 mm  und  b = 67 mm.

Faltet man zwei gegenüber liegende Ecken aufeinander, so bekommt der Schein einen Knick.

Wie lang ist dieser Knick ?

x = Länge des Knicks

\(\begin{array}{rcll} x &=& \dfrac{ \sqrt{2} } {2\cdot a} \cdot \sqrt { ( a^2+b^2 )\cdot ( a^2+b^2 - \sqrt{ (a^2+b^2)^2-4\cdot a^2b^2 }) } \\\\ a &=& 127\ mm\\ b &=& 67\ mm \\ \\ x &=& \dfrac{ \sqrt{2} } {2\cdot 127} \cdot \sqrt { ( 127^2+67^2 )\cdot ( 127^2+67^2 - 11640 ) } \\\\ x &=& \dfrac{ \sqrt{2} } {2\cdot 127} \cdot \sqrt { 20618\cdot ( 20618 - 11640 ) } \\\\ x &=& \dfrac{ \sqrt{2} } {2\cdot 127} \cdot 13605,4549354 \\\\ \mathbf{x} & \mathbf{=} & \mathbf{75,7520428817\ mm } \end{array} \)

Der Knick ist rund 75,75 mm lang

What is A and B or C? (hexdecimal to decimal)

\(\begin{array}{|c|r|} \hline \text{hexdecimal} & \text{decimal} \\ \hline 1 & 1 \\ 2 & 2 \\ 3 & 3 \\ 4 & 4 \\ 5 & 5 \\ 6 & 6 \\ 7 & 7 \\ 8 & 8 \\ 9 & 9 \\ A & 10 \\ B & 11 \\ C & 12 \\ D & 13 \\ E & 14 \\ F & 15 \\ \hline \end{array} \)

Line segments are drawn ?

\(X_1, X_2,\ldots,X_9 \text{ are nine points on the circumference of circle } O. \\ \text{Line segments are drawn connecting each pair of points.}\\ \text{How many line segments are drawn? }\)

\(\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Points on the circumference of circle} & \text{Line segments are drawn connecting each pair of points} \\ \hline 2 & 1 \\ 3 & 2 + 1 \\ 4 & 3 + 2 + 1 \\ 5 & 4 + 3 + 2 + 1 \\ 6 & 5 + 4 + 3 + 2 + 1 \\ 7 & 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 \\ 8 & 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 \\ 9 & 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 \\ \cdots & \cdots \\ \\ n & \frac { (n-1) + 1} {2} \cdot (n-1) = \mathbf{ \frac{n\cdot (n-1) } {2} } = \binom{n}{2}\\ n=9 & \mathbf{ \frac{9\cdot (9-1) } {2} } = \frac{9 \cdot 8 } {2} = 9\cdot 4 = \mathbf { 36 }\\ \hline \end{array}\)

36 line segments are drawn.

How does one find the Point-Slope form of: Horizontal line that goes through (7, -2)?

Point-Slope form:

\(\begin{array}{rcll} y-y_1 &=& m \cdot ( x - x_ 1) \qquad x_1 = 7 \qquad y_1 = -2 \qquad \text{Horizontal line }~ m = 0 \\ y-(-2) &=& 0 \cdot ( x - 7) \\ y + 2 &=& 0 \cdot ( x - 7) \\ y + 2 &=& 0 \\ y &=& -2 \\ \end{array}\)

The line is  \(y=-2\)