heureka

1)
A frog started from the origin of the coordinate plane and made three jumps.
Each time the frog jumped a distance of 5 units and landed at a point with integer coordinates.
How many different possibilities of the final position of the frog are there?

All 264 different possibilities of the final position of the frog:

\scalebox{0.5}{% scale
\begin{tikzpicture}
\draw[thick] (-15,-15) grid (15,15);
% Axes
\foreach \x in {-15,...,-1,0,1,2,...,15} {%
\draw (\x, -.1) -- (\x, 0) node[below left=2pt] {$\scriptstyle\x$};
}
\foreach \y in {-15,...,-1,1,2,...,15} {%
\draw (-.1,\y) -- (0,\y) node[below left=2pt] {$\scriptstyle\y$};
};

\foreach \x/\y in {5/0,4/3,3/4,0/5,-5/0,-4/3,-3/4,4/-3,3/-4,0/-5/,-4/-3/,-3/-4} %{\x \y,}
{
  \foreach \v/\w in {5/0,4/3,3/4,0/5,-5/0,-4/3,-3/4,4/-3,3/-4,0/-5/,-4/-3/,-3/-4} %{\v \w,}
  {
    \foreach \r/\s in {5/0,4/3,3/4,0/5,-5/0,-4/3,-3/4,4/-3,3/-4,0/-5/,-4/-3/,-3/-4} %{\r \s,}
    {
           \node[draw,circle,inner sep=2pt,fill] at (\x+\v+\r,\y+\w+\s) {};
    }
  }
}
\end{tikzpicture}
}

I am thinking of two numbers in the ratio 5 : 3 . 

The difference between the two numbers is 90. 

What is the sum of the two numbers?

\(\begin{array}{|lrcll|} \hline (1) & \frac{a}{b} &=& \frac{5}{3} \quad & | \quad \cdot b \\ & a &=& \frac53b \\\\ (2) & a-b &=& 90 \quad & | \quad a = \frac53b \\ & \frac53b - b &=& 90 \\ & \frac53b - \frac33 b &=& 90 \\ & \frac23b &=& 90 \quad & | \quad \cdot \frac32 \\ & b &=& 90 \cdot \frac32 \\ & b &=& 3\cdot 45 \\ & b &=& 135 \\ \\ & a &=& \frac53b \quad & | \quad b = 135 \\ & a &=& \frac53 \cdot 135 \\ & a &=& 5\cdot 45 \\ & a &=& 225 \\\\ & a+b &=& 225 + 135 \\ & \mathbf{a+b} & \mathbf{=} & \mathbf{360} \\ \hline \end{array} \)

The sum of the two numbers is 360

1)
A frog started from the origin of the coordinate plane and made three jumps.
Each time the frog jumped a distance of 5 units and landed at a point with integer coordinates.
How many different possibilities of the final position of the frog are there?

Startposition ( 0, 0 ):
After 1. Jump, there are 12 different positions with a distance of 5 units.
1.) ( 5, 0 )
2.) ( 4, 3 )
3.) ( 3, 4 )
4.) ( 0, 5 )
5.) ( -3, 4 )
6.) ( -4, 3 )
7.) ( -5, 0 )
8.) ( -4, -3 )
9.) ( -3, -4 )
10.) ( 0, -5 )
11.) ( 3, -4 )
12.) ( 4, -3 )

There are \( 12^3\) = 1728  jumps. But 264 different possibilities of the final position.

1.) (15, 0)

2.) (14, 3)

3.) (13, 4)

4.) (10, 5)

5.) (7, 4)

6.) (6, 3)

7.) (5, 0)

8.) (6, -3)

9.) (7, -4)

10.) (10, -5)

11.) (13, -4)

12.) (14, -3)

13.) (13, 6)

14.) (12, 7)

15.) (9, 8)

16.) (6, 7)

17.) (5, 6)

18.) (4, 3)

19.) (6, -1)

20.) (9, -2)

21.) (12, -1)

22.) (13, 0)

23.) (11, 8)

24.) (8, 9)

25.) (5, 8)

26.) (4, 7)

27.) (3, 4)

28.) (4, 1)

29.) (8, -1)

30.) (11, 0)

31.) (12, 1)

32.) (5, 10)

33.) (2, 9)

34.) (1, 8)

35.) (0, 5)

36.) (1, 2)

37.) (2, 1)

38.) (8, 1)

39.) (9, 2)

40.) (-1, 8)

41.) (-2, 7)

42.) (-3, 4)

43.) (-2, 1)

44.) (-1, 0)

45.) (2, -1)

46.) (6, 1)

47.) (-3, 6)

48.) (-4, 3)

49.) (-3, 0)

50.) (-2, -1)

51.) (1, -2)

52.) (4, -1)

53.) (-5, 0)

54.) (-4, -3)

55.) (-3, -4)

56.) (0, -5)

57.) (3, -4)

58.) (4, -3)

59.) (-3, -6)

60.) (-2, -7)

61.) (1, -8)

62.) (4, -7)

63.) (5, -6)

64.) (-1, -8)

65.) (2, -9)

66.) (5, -8)

67.) (6, -7)

68.) (5, -10)

69.) (8, -9)

70.) (9, -8)

71.) (11, -8)

72.) (12, -7)

73.) (13, -6)

74.) (12, 9)

75.) (11, 10)

76.) (8, 11)

77.) (4, 9)

78.) (3, 6)

79.) (5, 2)

80.) (11, 2)

81.) (12, 3)

82.) (10, 11)

83.) (7, 12)

84.) (4, 11)

85.) (3, 10)

86.) (2, 7)

87.) (7, 2)

88.) (10, 3)

89.) (11, 4)

90.) (4, 13)

91.) (1, 12)

92.) (0, 11)

93.) (1, 4)

94.) (8, 5)

95.) (-2, 11)

96.) (-3, 10)

97.) (-4, 7)

98.) (-2, 3)

99.) (5, 4)

100.) (-4, 9)

101.) (-5, 6)

102.) (-3, 2)

103.) (0, 1)

104.) (3, 2)

105.) (-6, 3)

106.) (-4, -1)

107.) (-1, -2)

108.) (3, 0)

109.) (-2, -5)

110.) (1, -6)

111.) (4, -5)

112.) (5, -4)

113.) (7, -6)

114.) (8, -5)

115.) (11, -4)

116.) (12, -3)

117.) (9, 12)

118.) (6, 13)

119.) (3, 12)

120.) (2, 11)

121.) (2, 5)

122.) (9, 4)

123.) (3, 14)

124.) (0, 13)

125.) (-1, 12)

126.) (-2, 9)

127.) (-1, 6)

128.) (6, 5)

129.) (7, 6)

130.) (-3, 12)

131.) (-4, 11)

132.) (-5, 8)

133.) (-4, 5)

134.) (0, 3)

135.) (4, 5)

136.) (-5, 10)

137.) (-6, 7)

138.) (-5, 4)

139.) (-1, 2)

140.) (2, 3)

141.) (-7, 4)

142.) (-6, 1)

143.) (1, 0)

144.) (-5, -2)

145.) (-1, -4)

146.) (2, -3)

147.) (3, -2)

148.) (3, -6)

149.) (6, -5)

150.) (9, -4)

151.) (10, -3)

152.) (11, -2)

153.) (0, 15)

154.) (-3, 14)

155.) (-4, 13)

156.) (-6, 13)

157.) (-7, 12)

158.) (-8, 9)

159.) (-7, 6)

160.) (-6, 5)

161.) (1, 6)

162.) (-8, 11)

163.) (-9, 8)

164.) (-8, 5)

165.) (-1, 4)

166.) (-10, 5)

167.) (-9, 2)

168.) (-8, 1)

169.) (-8, -1)

170.) (-7, -2)

171.) (0, -1)

172.) (-6, -3)

173.) (0, -3)

174.) (7, -2)

175.) (-9, 12)

176.) (-10, 11)

177.) (-11, 8)

178.) (-9, 4)

179.) (-2, 5)

180.) (-11, 10)

181.) (-12, 7)

182.) (-11, 4)

183.) (-10, 3)

184.) (-7, 2)

185.) (-13, 4)

186.) (-12, 1)

187.) (-11, 0)

188.) (-4, 1)

189.) (-11, -2)

190.) (-10, -3)

191.) (-7, -4)

192.) (-3, -2)

193.) (-9, -4)

194.) (-6, -5)

195.) (-2, -3)

196.) (1, -4)

197.) (5, -2)

198.) (-12, 9)

199.) (-13, 6)

200.) (-12, 3)

201.) (-11, 2)

202.) (-5, 2)

203.) (-14, 3)

204.) (-13, 0)

205.) (-12, -1)

206.) (-9, -2)

207.) (-6, -1)

208.) (-12, -3)

209.) (-11, -4)

210.) (-8, -5)

211.) (-5, -4)

212.) (-10, -5)

213.) (-7, -6)

214.) (-4, -5)

215.) (-4, -7)

216.) (-1, -6)

217.) (2, -5)

218.) (-15, 0)

219.) (-14, -3)

220.) (-13, -4)

221.) (-13, -6)

222.) (-12, -7)

223.) (-9, -8)

224.) (-6, -7)

225.) (-5, -6)

226.) (-11, -8)

227.) (-8, -9)

228.) (-5, -8)

229.) (-5, -10)

230.) (-2, -9)

231.) (2, -7)

232.) (-12, -9)

233.) (-11, -10)

234.) (-8, -11)

235.) (-4, -9)

236.) (-10, -11)

237.) (-7, -12)

238.) (-4, -11)

239.) (-3, -10)

240.) (-4, -13)

241.) (-1, -12)

242.) (0, -11)

243.) (2, -11)

244.) (3, -10)

245.) (4, -9)

246.) (-9, -12)

247.) (-6, -13)

248.) (-3, -12)

249.) (-2, -11)

250.) (-3, -14)

251.) (0, -13)

252.) (1, -12)

253.) (3, -12)

254.) (4, -11)

255.) (0, -15)

256.) (3, -14)

257.) (4, -13)

258.) (6, -13)

259.) (7, -12)

260.) (8, -11)

261.) (9, -12)

262.) (10, -11)

263.) (11, -10)

264.) (12, -9)

Vielen  D a n k, asinus

Vielen Dank, asinus!

(Part 2)

The closed form sum of 12[1^2*2+2^2*3+...+n^2(n+1)] for n>=1 is n(n+1)(n+2)(an+b).
Find an+b.

\(\begin{array}{|rcll|} \hline && \mathbf{12 \left[1^2\cdot 2 + 2^2\cdot 3 + 3^2\cdot 4 +\ldots +n^2 \cdot (n+1)\right] } \\ &=& 12\sum \limits_{k=1}^{n} k^2 \cdot (k+1) \\ &=& 12\sum \limits_{k=1}^{n} (k^3 + k^2) \\ &=& 12\left[\sum \limits_{k=1}^{n} (k^3) + \sum \limits_{k=1}^{n} (k^2) \right] \\ && \begin{array}{|rcll|} \hline \sum \limits_{k=1}^{n} (k^3) &=& 1^3+2^3+3^3+ \ldots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \\ \sum \limits_{k=1}^{n} (k^2) &=& 1^2+2^2+3^2+ \ldots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\ \hline \end{array} \\ &=& 12\left[ \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] \\ &=& 12n(n+1)\left[ \frac{n(n+1)}{4} + \frac{2n+1}{6} \right] \\ &=& 12n(n+1)\left[ \frac{n(n+1)}{4} + \frac{2n+1}{2\cdot 3} \right] \\ &=& 12n(n+1)\left[ \frac{n(n+1)}{4} + \frac{n+\frac12}{3} \right] \\ &=& 12n(n+1)\left[ \frac{3n(n+1)+4n+2}{12} \right] \\ &=& n(n+1)[3n(n+1)+4n+2] \\ &=& n(n+1)[3n(n+2)-3n+4n+2] \\ &=& n(n+1)[3n(n+2) + n+2] \\ &\mathbf{=}& \mathbf{ n(n+1)(n+2)(3n+1) } \\ \hline \end{array} \)

\(\mathbf{\large{an+b = 3n+1}}\)

(Part 1)

Find polynomial f(n) such that for all integers n>=1, we have 3(1*2+2*3+...+n(n+1))=f(n).

Write f(n) as a polynomial with terms in descending order of n.

\(\begin{array}{|rcll|} \hline f(n) &=& 3\cdot[~ 1\cdot 2 + 2\cdot 3 + 3\cdot 4 + 4\cdot 5 + \dots +n(n+1)~] \\ f(n) &=& 3\cdot[~ 1\cdot (1+1) + 2\cdot (2+1) + 3\cdot (3+1) + 4\cdot (4+1) + \dots +n(n+1)~] \\ f(n) &=& 3\cdot[~ (1^2+1) + (2^2+2) + (3^3+3) + (4^2+4) + \dots +(n^2+n)~] \\ f(n) &=& 3\cdot[~ (1+2+3+4+ \dots +n) + (1^2+2^2+3^3+4^2 + \dots +n^2)~] \\\\ && (1+2+3+4+ \dots +n) = \frac{(1+n)\cdot n}{2}\\ && (1^2+2^2+3^3+4^2 + \dots +n^2)= \frac{n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)}{6} \\\\ f(n) &=& 3\cdot[~ \frac{(1+n)\cdot n}{2} + \frac{n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)}{6}~] \\ f(n) &=& 3\cdot n \cdot(n+1)\cdot[~ \frac{1}{2} + \frac{(2n+1)}{6}~] \\ f(n) &=& 3\cdot n \cdot(n+1)\cdot[~ \frac{3}{6} + \frac{(2n+1)}{6}~] \\ f(n) &=& 3\cdot n \cdot(n+1)\cdot( \frac{3+2n+1}{6} ) \\ f(n) &=& 3\cdot n \cdot(n+1)\cdot( \frac{2n+4}{6} ) \\ f(n) &=& 3\cdot n \cdot(n+1)\cdot 2\cdot( \frac{n+2}{6} ) \\ \mathbf{f(n) }&\mathbf{=} &\mathbf{ n \cdot (n+1)\cdot (n+2)} \\ \hline \end{array}\)

Terms in descending order of n

\(\boxed{f(n) = n^3+3n^2+2n}\)

Find (a,b) such that 

\(L_n = a\phi^n + b\widehat{\phi}^n\)

L_n = a\phi^n + b\widehat{\phi}^n

\(\begin{array}{|rcll|} \hline L_n &=& \phi^n + \widehat{\phi}^n \\\\ (a,b) &=& (1,1) \\ \hline \end{array}\)

The vectors

\(\vec{a} \)  \vec{a}

and

\(\vec{b} \)  \vec{b}

have the same magnitude.

The angle between the vectors is 125\(^{\circ}\) ^{\circ},

and the magnitude of their cross product is  20.

I assume what is  a ? 

\(\begin{array}{|rcll|} \hline |\vec{a}\times \vec{b}| = 20 &=& a\cdot b \cdot \sin{(125^{\circ})} \quad & | \quad a =b \\ 20 &=& a\cdot a \cdot \sin{(125^{\circ})} \\ a\cdot a \cdot \sin{(125^{\circ})} &=& 20 \\ a^2\cdot \sin{125^{\circ}} &=& 20 \\ a^2 &=& \dfrac{20}{\sin{(125^{\circ})}} \\ a &=& \sqrt{\dfrac{20}{\sin{(125^{\circ})}}} \\ a &=& \sqrt{\dfrac{20}{0.81915204429}} \\ a &=& \sqrt{24.4154917752} \\ \mathbf{ a } & \mathbf{=} & \mathbf{4.94120347438} \\ \hline \end{array}\)

Dies sind Gleichungen, drei wagerecht, drei senkrecht.

\(\begin{array}{rrcrcr} & I && II && III \\ IV & aa &+& bcb &=& dee \\ & \times && - && - \\ V & fg &\times& hb &=& aga \\ \\ \hline \\ VI & ikb &-& bke &=& heb \\ \end{array}\)

Für welche Ziffern stehen die Buchstaben a,b,c,d,e,f,g,h,i,k?
Gleiche Buchstaben bedeuten gleiche Ziffern.
(i k b ist eine Ziffernreihe. i k b bedeutet nicht \(i\cdot k\cdot b\) )

Lösung:  \(a = 4 \\ b = 6 \\ c= 5 \\ d = 7 \\ e = 0 \\ f = 1 \\ g = 9 \\ h = 2 \\ i = 8 \\ k = 3 \\\)

\(\begin{array}{rrcrcr} & I && II && III \\ IV & 44 &+& 656 &=& 700 \\ & \times && - && - \\ V & 19 &\times& 26 &=& 494 \\ \\ \hline \\ VI & 836 &-& 630 &=& 206 \\ \end{array}\)