heureka

The SI derived unit for force is the newton.
1 newton is equal to 0.224808943871 pounds.

 588 Newtons = 132.187658996148 pounds

Was ist der Unterschied ob die hoch 2 über oder unter der Wurzel steht ?

Es gibt keinen Unterschied:

Es ist dabei unerheblich in welcher Reihenfolge man potenziert oder die n-te Wurzel zieht.

$$\\a^{\frac{2}{n} }
=a^{\frac{1}{n}\cdot 2}
= \left( a^{\frac{1}{n}} \right)^2
=\left( \sqrt[n]{a}
\right)^2 \\
a^{\frac{2}{n} }
=a^{2 \cdot \frac{1}{n}}
= \left( a^2\right)^{\frac{1}{n}}
=\sqrt[n]{a^2}$$

Beispiel:

$$\\\left( \sqrt{3}\right)^2
= \sqrt{3}\cdot \sqrt{3}
=\sqrt{3\cdot 3}
=\sqrt{9}
= 3\\\\
\sqrt{3^2}
=\sqrt{9}
= 3$$

wie berechnet man die masse eines Baumstammes, 

durchmesser: 12 dm

länge:3,50 m

dichte: 400 kg/kubikmeter

$$\small{\text{
$
\boxed{ \rho = \dfrac{m}{V}
\qquad m = \rho \cdot V
\qquad \rho $ ist die Dichte $\qquad V $ ist das Volumen
}
$
}}$$

$$\small{\text{
$
\boxed{ V = \pi \cdot {r^2} \cdot h \qquad
$ Gerader Zylinder mit Radius $r$ und H\"ohe $h$:
}
$
}}\\$$

$$\small{\text{
$r = \frac{d}{2} = \frac{12\ dm}{2} = 6\ dm = 0,6\ m
$}}\\
\small{\text{
$h = 3,5\ m
$}}\\\\
\small{\text{
$ V = \pi \cdot {0.6^2\ m^2} \cdot 3.5\ m \\
$}}\\
\small{\text{
$ V = \pi \cdot {0,6^2} \cdot 3,5\ m^3 \\
$}}\\
\small{\text{
$ = \pi \cdot 0,36 \cdot 3,5\ m^3
$}}\\
\small{\text{
$ = 1,26 \cdot\pi \ m^3
$}}\\
\small{\text{
$
\boxed{
V = 3,95840674352 \ m^3
}
$
}}\\\\
\small{\text{
$
m = 400 \cdot \dfrac{\ kg}{\ m^3} \cdot V
$
}}\\\\
\small{\text{
$
m = 400 \cdot \dfrac{\ kg}{\ m^3} \cdot 3,95840674352 \ m^3
$
}}\\\\
\small{\text{
$
m = 400 \cdot 3,95840674352 \cdot \dfrac{\ kg\cdot \ m^3}{\ m^3}
$
}}\\\\
\small{\text{
$
m = 400 \cdot 3,95840674352 \cdot \dfrac{\ kg\cdot \ \not{m^3}}{\ \not{m^3}}
$
}}\\\\
\small{\text{
$
m = 400 \cdot 3,95840674352 \cdot \ kg
$
}}\\
\small{\text{
$
\boxed{
m = 1583,363 \ kg
}
$
}}\\$$

Wie lautet die Zahl Pi auf 100 Nachkommastellen ?

3. 14159265358979323846264338327950288419716939937510 58209749445923078164062862089986280348253421170679

Funktion: 4x^6 + 4x^3 - 3

Er größte Exponent ist $$x^\textcolor[rgb]{1,0,0}{6}$$.

Also hat diese Funktion $$\textcolor[rgb]{1,0,0}{6}$$ Lösungen

Wir substitution $$z = x^3$$

$$4z^2+4z-3=0$$

Für z erhalten wir:

 $$z_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{16-4\cdot4\cdot(-3)}}{2\cdot4} \\
z_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{16+3\cdot 16 }}{8} \\
z_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{4\cdot 16}}{8} \\
z_{1,2}=\frac{-4\pm (2\cdot 4) }{8} \\
z_{1,2}=\frac{-4\pm 8 }{8} \\
z_{1,2}=\frac{-1\pm 2 }{2} \\
z_{1,2}=-\frac{1 }{2}\pm 1 \\\\
\small{\text{
$
\boxed{
z_{1}=-\frac{1 }{2} + 1 = \frac{1 }{2}\qquad
z_{2}=-\frac{1 }{2} - 1 = -\frac{3 }{2} }
$
}}$$

$$\small{\text{$\boxed{x=\sqrt[3]{z}}$ F\"ur die 3. Wurzel erhalten wir 3 L\"osungen. }}$$

Für $$z_1$$ erhalten wir 3 Lösungen:

$$x_1= \sqrt[3]{ \frac{1}{2} } = 0.79370052598 \quad \small{\text{ reelle L\"osung (reelle Wurzel)}}\\x_2= -\sqrt[3]{ -\frac{1}{2} } \quad \small{\text{ imagin\"are L\"osung (komplexe Wurzel)}}\\x_3= \frac{(-1)^{\frac{2}{3}} } {\sqrt[3]{2 }} \quad \small{\text{ imagin\"are L\"osung (komplexe Wurzel)}}\\$$

Für $$z_2$$ erhalten wir 3 Lösungen:

$$x_4= -\sqrt[3]{ \frac{3}{2} } = -1.14471424255 \quad \small{\text{ reelle L\"osung (reelle Wurzel)}}\\x_5= \sqrt[3]{ -\frac{3}{2} } \quad \small{\text{ imagin\"are L\"osung (komplexe Wurzel)}}\\x_6= - (-1)^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{ \frac{3}{2} }\quad \small{\text{ imagin\"are L\"osung (komplexe Wurzel)}}\\$$

Die Wurzeln in der komplexen Ebene:

Plot:

 

 

 

Wie rechnet man quadratische Gleichungen ?

$$\boxed{
\small{\text{$\left( \begin{array}{c}n \\k\end{array} \right)
=\dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!}
$}} }$$

$$\small{\text{$\left( \begin{array}{c}223 \\ 221 \end{array} \right)=\dfrac{223!}{221!\cdot (223-221)!}= \dfrac{\not{221!} \cdot 222 \cdot 223 }{\not{221!}\cdot 2!}= \dfrac{222 \cdot 223 }{2}= 111\cdot 223 = 24753$}}$$

sin^2(-x)+cos^2(-x)

$$\boxed{
\begin{array}{ccc}
\sin(-x) &=& -\sin{x}\\
\cos(-x) &=& \cos(x)
\end{array}
}\\\\\\
\sin^2(-x)+\cos^2(-x)\\
=[-\sin(x)]^2+[cos(x)]^2\\
=\sin^2(x)+\cos^2(x)\\
=1$$

Was ist die Funktion f(x)= (2x-1)*e^x aufgeleitet ?

$$\int{(2x-1)\cdot e^x} \ dx \\\\
=2\cdot \int{x\cdot e^x} \ dx - \int{ e^x} \ dx \quad | \quad \boxed{\int{ e^x} \ dx = e^x }\\\\
=2\cdot \int{x\cdot e^x} \ dx - e^x \\\\
\textcolor[rgb]{1,0,0}{
\small{\text{Wir l\"osen das $ \int{x\cdot e^x} \ dx $ mit partieller Integration }}
}\\\\\\
\small{\text{Wir wenden folgende Regel an : $
\boxed{\int{u\cdot v'} = u\cdot v - \int{u'\cdot v} } $}}\\\\
\small{\text{$\int{\underbrace{x}_{=u}\cdot \underbrace{e^x}_{=v'}} \ dx $}}\\ \\
\begin{array}{ll}
u = x & u' = 1 \\
v' = e^x & v = \int{v'} = \int{e^x}\ dx = e^x
\end{array}\\\\
\small{\text{$\int{\underbrace{x}_{=u}\cdot \underbrace{e^x}_{=v'}} \ dx = \underbrace{x}_{=u} \cdot \underbrace{e^x}_{=v} - \int{\underbrace{1}_{=u'}\cdot \underbrace{e^x}_{=v} }\ dx \\
$}}\\ \\
\small{\text{$\int{x \cdot e^x } \ dx = x \cdot e^x - \int{ e^x }\ dx
$}}\\ \\
\small{\text{$\int{x \cdot e^x } \ dx = x \cdot e^x - \underbrace{\int{ e^x }\ dx}_{=e^x}
$}}$$

$$\boxed{ \small{\text{$\int{x \cdot e^x } \ dx = x \cdot e^x - e^x
$}} }\\\\
\small{\text{
$
\int{(2x-1)\cdot e^x} \ dx \\
= 2\cdot \int{x\cdot e^x} \ dx - e^x
$}}\\
\small{\text{
$
\int{(2x-1)\cdot e^x} \ dx \\
= 2\cdot ( x \cdot e^x - e^x ) - e^x + c
$}}\\
\small{\text{
$\int{(2x-1)\cdot e^x} \ dx \\
= 2\cdot x \cdot e^x - 2 \cdot e^x - e^x + c
$}}\\
\small{\text{
$\int{(2x-1)\cdot e^x} \ dx \\
= 2\cdot x \cdot e^x - 3 \cdot e^x + c
$}} \\\\
\boxed{
\small{\text{
$\int{(2x-1)\cdot e^x} \ dx \\
= ( 2\cdot x - 3 ) \cdot e^x +c \
$}}
}$$