Wie beweist man die Formel für das Volumen eines Kegelstumpfes?
Hallo Gast!
Bei der Herleitung der Formel für das Volumen eines Kegelstumpfes von Oliver Michele in der Antwort von Omi67 wird ohne Beweis vorausgesetzt, die Formel für das Kegelvolumen sei
\(V=\frac{1}{3}\pi r^2h\) .
Beweis zur Formel für das Volumen des großen Kegels in der Kegeldarstellung von O. Michele:
Den Kegelstumpf kann man sich vorstellen als einen Stapel unendlich dünner kreisförmiger Scheiben.
Die Fläche einer Scheibe ist
\(A=\pi r^2\) ,
ihr Volumen ist
\(V=\pi r^2\cdot dh\) .
dh ist die Dicke dieser Scheibe.
Der Tangens des Steigungswinkels einer Seitenlinie des Kegels ist
\(tan\ \alpha = \frac{h_g}{r_1}\\ r_1=\frac{h_g}{tan\ \alpha}\) .
Dann ist der Radius jeder beliebigen Scheibe
\(r=\frac{h}{tan\ \alpha}=h\cdot \frac{r_1}{h_g}\).
h ist der Abstand der Scheibe von der Spitze des Kegels.
Mit Hilfe der Integralrechnung wird die Summe der Volumina der Scheiben ermittelt.
\(V=\int_{0}^{h_g}\pi\cdot r^2\cdot dh\)
r eingesetzt ergibt
\(V=\int_{0}^{h_g}\pi\cdot h^2\cdot \frac{r_1^2}{h_g^2}\cdot dh\)
Die Konstanten kommen vor das bestimmte Integral.
\(V=\pi \cdot \frac{r_1^2}{h_g^2}\int_{0}^{h_g} h^2\cdot dh\)
Integriert ergibt das
\(\color{blue}V=\pi \cdot \frac{r_1^2}{h_g^2}\cdot \left[\frac{h^3}{3}\right]_{0}^{h_g} \\ V=\pi \cdot \frac{r_1^2}{h_g^2}\cdot \frac{h_g^3}{3}\)
Gekürzt und verallgemeinert bleibt
\(\large V=\frac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^2\cdot h\)
q.e.d
Die weitere Herleitung der Formel für das Volumen eines Kegelstumpfes findest du in der Antwort von Omi67.
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